Ricci-Soliton

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Ricci-Solitonen eine Klasse Riemannscher Mannigfaltigkeiten, zu denen insbesondere die Einstein-Mannigfaltigkeiten gehören.

Definition

Eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ ist ein Ricci-Soliton, wenn es ein Vektorfeld $V$ mit Lie-Ableitung ${ℒ}_V$ gibt, so dass für die Ricci-Krümmung die punktweise Gleichung

$Ric(g)=\lambda g-\frac{1}{2}{ℒ}_{V}g$

mit einer Konstanten $\lambda \in ℝ$ gilt. (Insbesondere erhält man für $V=0$ die Einstein-Mannigfaltigkeiten.)

Wenn $V$ ein Gradientenfeld $V=\mathrm{\nabla }f$ für eine Funktion $f:M\to ℝ$ ist, heißt $(M,g)$ ein Gradienten-Ricci-Soliton. In diesem Fall gilt

$Ric(g)=\lambda g-{\mathrm{\nabla }}^{2}f$.

Selbstähnliche Lösungen des Ricci-Flusses

Ein Ricci-Soliton $(M,g_0)$ gibt eine selbstähnliche Lösung $g_t$ des Ricci-Flusses ${\partial }_t{g}_t=-2Ric(g_t)$ wie folgt.

Setze $\sigma (t):=1-2\lambda t$ und $X(t):=\frac{1}{\sigma (t)}V$. Der Fluss des Vektorfelds $X(t)$ definiert eine 1-Parameter-Familie von Diffeomorphismen ${\mathrm{\Phi }}_t$ und man definiert

$g_t:=\sigma (t){\mathrm{\Phi }}_t^{*}(g_0)$,

was eine Lösung des Ricci-Flusses ist. Für $\lambda <0$ ist es eine expandierende Lösung, für $\lambda =0$ eine beständige und für $\lambda >0$ eine schrumpfende Lösung.

Literatur

• Bennett Chow, Peng Lu, Lei Ni: Hamilton's Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics 77, AMS (2006)