Reine Untergruppe

Reine Untergruppen spielen in der Theorie der abelschen (kommutativen) Gruppen eine wichtige Rolle. Ist $A$ eine abelsche Gruppe und $U\hookrightarrow A$ eine Untergruppe, so kann man eine Gleichung der Form $u=n\cdot x$, die in $A$ lösbar ist, normalerweise nicht in $U$ lösen. Das heißt gibt es ein $a\in A$ mit $u=n\cdot a$, so braucht es kein $v\in U$ zu geben, das ich für $x$ einsetzen kann. So ist die Gleichung $1=2\cdot x$ in $\mathbb{Q}$ lösbar, aber nicht in der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ . Bei reinen Untergruppen ist dies stets möglich.

Definition

1. Es sei $U$ eine Untergruppe der abelschen Gruppe $A$. Sind $u\in U$ und $n\in \mathbb{N}$, so heißt eine Gleichung $u=n\cdot x$ lösbar in $A$, wenn es ein $a\in A$ gibt, so dass $u=n\cdot a$ gilt.
2. Die Gleichung heißt lösbar in $U$, wenn es ein $v\in U$ gibt mit $u=n\cdot v$. Ist zum Beispiel $U=\mathbb{Z}$ und $A=\mathbb{Q}$, so ist die Gleichung $1=2\cdot x$ in $\mathbb{Q}$ lösbar aber nicht in $\mathbb{Z}$.
3. Eine Untergruppe $U$ der abelschen Gruppe $A$ heißt rein, wenn jede in $A$ lösbare Gleichung $u=n\cdot x$ mit $n\in \mathbb{N},u\in U$ auch in $U$ lösbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb{N}$ gilt: $U\cdot n=U\cap A\cdot n$. Dabei ist $U\cdot n=\{u\cdot n|u\in U\}$.
4. Ist $p$ eine Primzahl, so ist $U\subset A$ p-rein, wenn für alle $k\in \mathbb{N}$ gilt: $U\cdot p^k=A\cdot p^k$.

Beispiele

1. $\mathbb{Z}$ ist in $\mathbb{Q}$ nicht rein. Denn die Gleichung $1=2\cdot x$ ist in $\mathbb{Q}$ lösbar aber nicht in $\mathbb{Z}$.
2. $0$ ist in jeder Gruppe rein.
3. Eine Gruppe $A$ heißt teilbar, wenn für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt: $A\cdot n=A$. Eine teilbare Gruppe ist in jeder Obergruppe rein.
4. Jeder direkte Summand $U\hookrightarrow A$ einer Gruppe $A$ ist rein in $A$.
5. Ist $(A_i|i\in I)$ eine Familie von Gruppen, so ist $\coprod _{i\in I}{A}_i$ rein in $\prod _{i\in I}{A}_i$.
6. Die Torsionsuntergruppe $T(A)$ von $A$ ist rein in $A$ und im Allgemeinen kein direkter Summand. Allgemeiner gilt: Ist $B$ eine Untergruppe von $A$ und die Faktorgruppe $A/B$ torsionsfrei, so ist $B$ rein in $A$.

Einfache Tatsachen

Es seien $C\hookrightarrow B\hookrightarrow A$ Untergruppen. Dann gilt:

• Ist $C$ rein in $B$ und $B$ rein in $A$, so ist $C$ rein in $A$.
• Ist $B$ rein in $A$ so ist $B/C$ rein in $A/C$.
• Ist $(A_n|n\in \mathbb{N})$ eine aufsteigende Kette reiner Untergruppen von $A$ , so ist $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n$ eine reine Untergruppe von $A$.

Rein exakte Folgen

Eine kurze exakte Folge

$0\to A\stackrel{\alpha }{\to }B\stackrel{\beta }{\to }C\to 0$

abelscher Gruppen heißt rein exakte Folge, wenn $\alpha (A)$ rein in $B$ ist. Ist $A$ eine abelsche Gruppe und $n\in \mathbb{N}$ so bezeichnet man mit $A[n]:=\{a|a\in A,a\cdot n=0\}$.

Folgende Aussagen für eine exakte Folge abelscher Gruppen sind äquivalent:

• $0\to n\cdot A\to n\cdot B\to n\cdot C\to 0$ ist exakt für alle $n\in \mathbb{N}$.
• $0\to A[n]\to B[n]\to C[n]\to 0$ ist exakt für alle $n\in \mathbb{N}$.
• $0\to A/nA\to B/nB\to C/nC\to 0$ ist exakt für alle $n\in \mathbb{N}$.
• Die exakte Folge ist rein exakt.

Literatur

• László Fuchs: Abelian Groups. (= Springer Monographs in Mathematics). Springer International, 2016, ISBN 978-3-319-19421-9.