Rationaler Funktionenkörper

Ein rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

Definition

Der rationale Funktionenkörper $K(X)$ ist der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X]$ über einem Körper $K$. Die Konstruktion von $K(X)$ ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente $r\in K(X)$ können also als $r=\frac{f}{g}$ mit Polynomen $f,g\in K[X]$, wobei $g$ nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Anmerkungen und Eigenschaften

Die Namensgebung ist traditionell, aber mit etwas Vorsicht zu genießen:

• Erstens muss man die Unterschiede zwischen Polynomen und Polynomfunktionen betrachten. Jedes Polynom induziert eine Polynomfunktion, aber die Zuordnung Polynom $\to$ Polynomfunktion ist nur dann injektiv, wenn der Körper $K$ unendlich ist. Beispiel: Ist $K={𝔽}_2$ der Körper mit 2 Elementen, so induzieren $X$ und $X^2$ die gleiche Funktion auf $K$. Trotzdem sind sie als Elemente des rationalen Funktionenkörpers nicht gleich.
• Zweitens hat in der Regel der Nenner $g$ Nullstellen. Dementsprechend ist die rationale Funktion nicht auf ganz $K$ definiert, sondern nur auf einer Zariski-offenen Teilmenge.

Beispiel: Für $K={𝔽}_3$ gilt zwar $\frac{1}{X^3-X}$ als rationale Funktion auf $K$ im Sinne der obigen Definition – aber der Definitionsbereich ist leer.

Die Körpererweiterung $K(X)/K$ ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich. Es lässt sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine $K$-Basis des $K$-Vektorraums $K(X)$ angeben.

In mehreren Variablen

Definition

Der rationale Funktionenkörper $K(X_1,\dots ,X_n)$ in den Variablen $X_1,\dots ,X_n$ ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X_1,\dots ,X_n]$.

Konstruktion

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen $X_i$ und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

$K(X_1,\dots ,X_n)$ ist der Quotientenkörper des Polynomrings $K(X_1,\dots ,X_{n-1})[X_n]$, also des Polynomrings über dem Körper $K(X_1,\dots ,X_{n-1})$ in der Variable $X_n$

Funktionenkörper in der algebraischen Geometrie

In der algebraischen Geometrie werden Funktionenkörper von affinen Varietäten betrachtet: Sei der Körper $K$ algebraisch abgeschlossen und $V$ eine affine Varietät im $K^n$. Dann ist das Ideal $I(V)$ ein Primideal im Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$, weshalb der Koordinatenring $K[V]$, d. h. der Quotientenring $K[X_1,\dots ,X_n]/I(V)$, ein Integritätsbereich ist.

Der Quotientenkörper $K(V)$ des Koordinatenrings $K[V]$ heißt dann Funktionenkörper von $V$. Seine Elemente heißen rationale Funktionen auf $V$ und dürfen tatsächlich als Funktionen auf (nicht leeren) offenen Teilmengen von $V$ betrachtet werden.

Literatur

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