Rational elliptische Funktionen

Darstellung der rational elliptischen Funktionen zwischen $x=-1$ und $x=1$ für die Ordnungen 1, 2, 3 und 4 mit dem Selektivfaktor $\xi =1,1$.

Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.

Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung $n$ und einen reellen Selektivfaktor $\xi \ge 1$ charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter $x$ definiert als:

$R_n(\xi ,x)\equiv \mathrm{c}\mathrm{d}(n\frac{K(1/L_n)}{K(1/\xi )}{\mathrm{c}\mathrm{d}}^{-1}(x,1/\xi ),1/L_n)$,

wobei die Funktion $\mathrm{cd}(\cdot )$ eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion darstellt, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis. $K(\cdot )$ steht für das elliptische Integral erster Art und $L_n(\xi )=R_n(\xi ,\xi )$ stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für $|x|\ge \xi$ gleich dem kleinsten Betragswert von $R_n(\xi ,x)$ ist.

Ausdruck als rationale Funktion

Für Ordnungen in der Form $n=2^a{3}^b$, mit $a$ und $b$ nichtnegativ ganzzahlig, können die rational elliptischen Funktionen durch analytische Funktionen ausgedrückt werden.

Für gerade Ordnung $n$ können die rational elliptischen Funktionen in diesen Fällen als Quotient zweier Polynome, beide mit Ordnung $n$, ausgedrückt werden als:

$R_n(\xi ,x)=r_0\frac{\prod _{i=1}^n(x-x_i)}{\prod _{i=1}^n(x-x_{pi})}$      ($n$ gerade)

mit den Nullstellen $x_i$ und den Polstellen $x_{pi}$. Der Faktor $r_0$ wird so gewählt, dass $R_n(\xi ,1)=1$ gilt.

Für ungerade Ordnung ergeben sich ein Pol bei $x=\mathrm{\infty }$ und eine Nullstelle bei $x=0$, womit rational elliptische Funktionen bei ungerader Ordnung in der Form

$R_n(\xi ,x)=r_{0}x\frac{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_i)}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{pi})}$      ($n$ ungerade)

ausgedrückt werden können.

Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptischen Funktionen formulieren:

$R_1(\xi ,x)=x$

$R_2(\xi ,x)=\frac{(t+1)x^2-1}{(t-1)x^2+1}$, mit $t\equiv \sqrt{1-\frac{1}{{\xi }^2}}$.

$R_3(\xi ,x)=x\frac{(1-x_p^2)(x^2-x_z^2)}{(1-x_z^2)(x^2-x_p^2)}$, mit $G\equiv \sqrt{4{\xi }^2+(4{\xi }^2({\xi }^2-1){)}^{2/3}}$, $x_p^2\equiv \frac{2{\xi }^2\sqrt{G}}{\sqrt{8{\xi }^2({\xi }^2+1)+12G{\xi }^2-G^3}-\sqrt{G^3}}$, $x_z^2={\xi }^2/x_p^2$

Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:

$R_4(\xi ,x)=R_2(R_2(\xi ,\xi ),R_2(\xi ,x))=\frac{(1+t)(1+\sqrt{t}{)}^2{x}^4-2(1+t)(1+\sqrt{t})x^2+1}{(1+t)(1-\sqrt{t}{)}^2{x}^4-2(1+t)(1-\sqrt{t})x^2+1}$

$R_5(\xi ,x)$, keine rationale Funktion.

$R_6(\xi ,x)=R_3(R_2(\xi ,\xi ),R_2(\xi ,x))$

Eigenschaften

Normalisierung

Alle rational elliptischen Funktionen sind bei $x=1$ auf $1$ normiert:

$R_n(\xi ,1)=1$.

Verschachtelung

Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:

$R_m(R_n(\xi ,\xi ),R_n(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)$.

Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich $R_2$ und $R_3$ als geschlossener analytischer Ausdruck angeben lassen. Damit lassen sich alle Ordnungen $n=2^a{3}^b$ in Form von analytischen Funktionen angeben.

Grenzwerte

Die Grenzwerte der rational elliptischen Funktionen für $\xi \to \mathrm{\infty }$ lassen sich als Tschebyschow-Polynome erster Art $T_n$ ausdrücken:

$\underset{\xi =\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n(\xi ,x)=T_n(x)$.

Symmetrie

Es gilt allgemein:

$R_n(\xi ,-x)=R_n(\xi ,x)$ für gerade $n$,

$R_n(\xi ,-x)=-R_n(\xi ,x)$ für ungerades $n$.

Welligkeit

$R_n(\xi ,x)$ hat eine einheitliche Welligkeit von $\pm 1$ im Intervall $-1\le x\le 1$.

Kehrwert

Es gilt allgemein

$R_n(\xi ,\xi /x)=\frac{R_n(\xi ,\xi )}{R_n(\xi ,x)}$.

Dies bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung

$x_{pi}{x}_{zi}=\xi$

genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullstelle bei $x=0$ und eine Polstelle bei Unendlich auf.

Quellen

• Elliptic rational functions auf MathWorld (engl.)

Literatur

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