Quartische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine quartische Primzahl (vom englischen quartan prime) eine Primzahl der Form $p=x^4+y^4$ mit ganzzahligen $x>0$ und $y>0$.

Beispiele

• Die Zahl $2=1+1=1^4+1^4$ ist eine quartische Primzahl.
• Die Zahl $97=16+81=2^4+3^4$ ist eine quartische Primzahl.
• Die kleinsten quartischen Primzahlen lauten:

2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937, … (Vorlage:OEIS)

• Die momentan größte bekannte quartische Primzahl (Stand: 17. Juni 2018) ist gleichzeitig die größte bekannte verallgemeinerte Fermatsche Primzahl, nämlich

$p=919444^{1048576}+1=(919444^{262144}{)}^4+1^4$

Sie hat $6.253.210$ Stellen und wurde am 29. August 2017 von Sylvanus A. Zimmerman (USA) entdeckt.

Eigenschaften

• Sei $p\in \mathbb{P}$ mit $p>2$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:

$p=16n+1$ mit $n\in \mathbb{N}$

Mit anderen Worten:

$p\equiv 1(\mathrm{mod}16)$

• Sei $p=x^4+y^4\in \mathbb{P}$ mit $p>2$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:

Wenn $x$ ungerade ist, muss $y$ gerade sein oder umgekehrt.

Beweis:

Angenommen, sowohl $x$ als auch $y$ sind gerade. Dann wäre auch $x^4$ und $y^4$ gerade und somit wäre auch $p=x^4+y^4$ als Summe von zwei geraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen $p>2$ kann dies aber nicht sein.

Angenommen, sowohl $x$ als auch $y$ sind ungerade. Dann wäre auch $x^4$ und $y^4$ ungerade und somit wäre $p=x^4+y^4$ als Summe von zwei ungeraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen $p>2$ kann dies aber nicht sein.

Somit bleibt nur übrig, dass entweder $x$ oder $y$ ungerade und die jeweils andere gerade ist. $◻$

Weil jede gerade Zahl hoch 4 durch 16 teilbar ist und jede ungerade Zahl hoch 4 bei der Division durch 16 den Rest 1 hat, gilt: $p=g^4+u^4\equiv 0+1=1(\mathrm{mod}16)$

• Außer der 2 enden alle quartischen Primzahlen im Dezimalsystem mit der Endziffer 1 oder 7.

Alle Biquadrate von geraden Zahlen endet mit der Ziffer 0, falls diese durch 10 teilbar sind $(z)$, andernfalls mit der Endziffer 6 $(g)$.

Alle Biquadrate von ungeraden Zahlen endet mit der Ziffer 5, falls diese durch 5 teilbar sind $(f)$, andernfalls mit der Endziffer 1 $(u)$.

$z^4+u^4\equiv 0+1\equiv 1(\mathrm{mod}10)$

$z^4+f^4\equiv 0+5\equiv 5(\mathrm{mod}10)$ : keine Primzahlen, weil durch 5 teilbar.

$g^4+u^4\equiv 6+1\equiv 7(\mathrm{mod}10)$

$g^4+f^4\equiv 6+5\equiv 1(\mathrm{mod}10)$

Siehe auch

• Biquadrat

Weblinks

• Vorlage:Internetquelle