Q-invariante Verteilungsklasse

Eine Q-invariante Verteilungsklasse ist eine spezielle Verteilungsklasse in der mathematischen Statistik, die sich dadurch auszeichnet, dass die in ihr enthaltenen Wahrscheinlichkeitsmaße abgeschlossen sind bezüglich der Bildung von gewissen Bildmaßen. Spezialfall einer Q-invarianten Verteilungsklasse sind die Lokationsklassen und die Skalenfamilien.

Anwendung finden Q-invariante Verteilungsklassen beispielsweise bei der Untersuchung von äquivarianten Schätzern.

Definition

Sei $𝒬$ eine Gruppe (bezüglich der Verkettung von Funktionen $\circ$) von messbaren Funktionen von $(X,𝒜)$ nach $(X,𝒜)$.

Sei ${𝒫}_{𝒬}$ eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf $(X,𝒜)$ und $P^f$ das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$ unter der Funktion $f$.

Dann heißt ${𝒫}_{𝒬}$ eine Q-invariante Verteilungsklasse, wenn für jedes $P\in {𝒫}_{𝒬}$ und jedes $q\in 𝒬$ gilt, dass

$P^q\in {𝒫}_{𝒬}$

ist.

Beispiele

Lokationsklassen

Wählt man $(X,𝒜)=(ℝ,ℬ(ℝ))$ und als Gruppe die Gruppe der Translationen auf $ℝ$, also

$T_{\vartheta }(x):=x-\vartheta \text{ und }𝒬:=\{T_{\vartheta }|\vartheta \in ℝ\}$,

so wäre eine Lokationsklasse eine Q-invariante Verteilungsklasse, denn die Lokationsklassen entstehen genau aus der Verschiebung eines Wahrscheinlichkeitsmaßes entlang der x-Achse.

Umgekehrt ist aber nicht jede Q-invariante Verteilungsklasse mit dem oben definierten $𝒬$ eine Lokationsklasse. Die Q-invariante Verteilungsklasse könnte beispielsweise aus zwei oder mehr unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Verschiebung hervorgegangen sein, was bei Lokationsklassen nicht möglich ist, denn diese sind immer Verschiebungen eines Maßes. Vereinigungen Q-invarianter Verteilungsklassen sind offenbar wieder Q-invariant, für Lokationsklassen gilt das nicht.

Skalenfamilien

Wählt man $(X,𝒜)=({ℝ}_{+}^n,ℬ({ℝ}_{+}^n))$, aber als Gruppe die Gruppe der Multiplikationen mit $\vartheta \in (0,\mathrm{\infty })$, also

$S_{\vartheta }(x):=\vartheta \cdot x\text{ und }𝒬:=\{S_{\vartheta }|\vartheta \in (0,\mathrm{\infty })\}$,

dann ist für ein vorgegebenes Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $({ℝ}_{+}^n,ℬ({ℝ}_{+}^n))$ die Menge

${𝒫}_{𝒬}:=\{P^S|S\in 𝒬\}$

eine Q-invariante Verteilungsklasse, die sogenannte von dem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ erzeugte Skalenfamilie.

Literatur

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