Bildmaß

Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$ auf einen anderen Raum $({\mathrm{\Omega }}^{\prime },{\mathrm{\Sigma }}^{\prime })$ zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion $g:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ den Mengen in ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ Werte zugeordnet. Das so auf ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.

Für das Bildmaß existieren verschiedene Notationen, meistens wird das Symbol $*$ oder $\mathrm{\#}$ verwendet: $g^{*}\mu$, $\mu \circ g^{-1}$, $g^{\mathrm{\#}}\mu$, $g\mathrm{♯}\mu$, oder $g\mathrm{\#}\mu$.

Definition

Es sei $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$ ein Maßraum, $({\mathrm{\Omega }}^{\prime },{\mathrm{\Sigma }}^{\prime })$ ein Messraum und

$g:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}^{\prime }$

eine $\mathrm{\Sigma }\text{-}{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$-messbare Funktion. Dann ist die Abbildung

$(g^{*}\mu ):=\mu \circ g^{-1}:{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }\to [0,\mathrm{\infty }]$

definiert durch

$A^{\prime }\mapsto \mu (g^{-1}(A^{\prime }))$

ein Maß auf $({\mathrm{\Omega }}^{\prime },{\mathrm{\Sigma }}^{\prime })$, genannt das Bildmaß von $\mu$ bezüglich $g$. Dabei bezeichnet $g^{-1}(A^{\prime })$ das Urbild von $A^{\prime }\in {\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$.

Transformationssatz

Für eine messbare Funktion $f:{\mathrm{\Omega }}^{\prime }\to \overline{ℝ}$ (wobei $\overline{ℝ}:=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen $A\subseteq {\mathrm{\Omega }}^{\prime }$:

$\underset{g^{-1}(A)}{\int }f\circ g\mathrm{d}\mu =\underset{A}{\int }f\mathrm{d}(\mu \circ g^{-1})$,

wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.