Pythagoreisches Quadrupel

Alle vier primitiven pythagoreischen Quadrupel mit einstelligen Werten

Ein pythagoreisches Quadrupel ist ein Tupel von ganzen Zahlen

$a,b,c,d\in \mathbb{Z}$

, so dass gilt:

$a^2+b^2+c^2=d^2$.

Es handelt sich dabei um die Lösungen einer diophantischen Gleichung. Meistens werden aber nur positive ganze Zahlen als Lösungen betrachtet.

Primitive pythagoreische Quadrupeln

Ein pythagoreisches Quadrupel $(a,b,c,d)$ heißt primitives pythagoreisches Quadrupel, wenn die Werte positiv ganzzahlig sind und der größte gemeinsame Teiler der vier Werte gleich 1 ist (wenn also $\mathrm{ggT}(a,b,c,d)=1$ gilt). Jedes pythagoreische Quadrupel ist ein ganzzahliges Vielfaches eines primitiven pythagoreischen Quadrupels.

Beispiel 1:

Das Tupel $(a,b,c,d)=(2,3,6,7)$ ist ein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil $\mathrm{ggT}(2,3,6,7)=1$ ist und $2^2+3^2+6^2=7^2(=49)$ gilt.

Beispiel 2:

Das Tupel $(a,b,c,d)=(5\cdot 2,5\cdot 3,5\cdot 6,5\cdot 7)=(10,15,30,35)$ ist kein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil $\mathrm{ggT}(10,15,30,35)=5=1$ ist, obwohl $10^2+15^2+30^2=35^2(=1225)$ gilt.

Beispiele

Es gibt 31 primitive pythagoreische Quadrupel, bei denen alle Werte kleiner als 30 sind:

$a$ $b$ $c$ $d$ $a^2+b^2+c^2=d^2$ 1 2 2 3 $1^2+2^2+2^2=3^2$ 2 3 6 7 $2^2+3^2+6^2=7^2$ 1 4 8 9 $1^2+4^2+8^2=9^2$ 4 4 7 9 $4^2+4^2+7^2=9^2$ 2 6 9 11 $2^2+6^2+9^2=11^2$ 6 6 7 11 $6^2+6^2+7^2=11^2$ 3 4 12 13 $3^2+4^2+12^2=13^2$ 2 5 14 15 $2^2+5^2+14^2=15^2$

$a$ $b$ $c$ $d$ $a^2+b^2+c^2=d^2$ 2 10 11 15 $2^2+10^2+11^2=15^2$ 1 12 12 17 $1^2+12^2+12^2=17^2$ 8 9 12 17 $8^2+9^2+12^2=17^2$ 1 6 18 19 $1^2+6^2+18^2=19^2$ 6 6 17 19 $6^2+6^2+17^2=19^2$ 6 10 15 19 $6^2+10^2+15^2=19^2$ 4 5 20 21 $4^2+5^2+20^2=21^2$ 4 8 19 21 $4^2+8^2+19^2=21^2$

$a$ $b$ $c$ $d$ $a^2+b^2+c^2=d^2$ 4 13 16 21 $4^2+13^2+16^2=21^2$ 8 11 16 21 $8^2+11^2+16^2=21^2$ 3 6 22 23 $3^2+6^2+22^2=23^2$ 3 14 18 23 $3^2+14^2+18^2=23^2$ 6 13 18 23 $6^2+13^2+18^2=23^2$ 9 12 20 25 $9^2+12^2+20^2=25^2$ 12 15 16 25 $12^2+15^2+16^2=25^2$ 2 7 26 27 $2^2+7^2+26^2=27^2$

$a$ $b$ $c$ $d$ $a^2+b^2+c^2=d^2$ 2 10 25 27 $2^2+10^2+25^2=27^2$ 2 14 23 27 $2^2+14^2+23^2=27^2$ 7 14 22 27 $7^2+14^2+22^2=27^2$ 10 10 23 27 $10^2+10^2+23^2=27^2$ 3 16 24 29 $3^2+16^2+24^2=29^2$ 11 12 24 29 $11^2+12^2+24^2=29^2$ 12 16 21 29 $12^2+16^2+21^2=29^2$

Aus diesen primitiven pythagoreischen Quadrupeln kann man beliebig viele weitere nicht-primitive pythagoreische Quadrupel bilden. Zum Beispiel kann man aus dem primitiven pythagoreischen Quadrupel $(a,b,c,d)=(1,2,2,3)$ durch Multiplikation mit $2,3,4,\dots$ die nicht-primitiven pythagoreischen Quadrupel $(a,b,c,d)=(2,4,4,6)$, $(a,b,c,d)=(3,6,6,9)$, $(a,b,c,d)=(4,8,8,12)$ etc. bilden.

Geometrische Deutung

Ein pythagoreisches Quadrupel $(a,b,c,d)$ definiert einen Quader mit ganzzahligen Seitenlängen $|a|,|b|$ und $|c|$ (wobei mit $|a|$ der Betrag von $a$ gemeint ist). Die Raumdiagonale dieses Quaders hat dann eine ganzzahlige Länge $|d|$. Pythagoreische Quadrupel heißen deswegen auf Englisch auch Pythagorean boxes.

Eigenschaften von pythagoreischen Quadrupeln

• Das pythagoreische Quadrupel mit dem kleinsten Produkt ist $(1,2,2,3)$.
• Sei $a^2+b^2+c^2=d^2$ mit $a,b,c,d\in \mathbb{N}$. Dann gilt:

Das Produkt $abcd$ ist immer durch $12$ teilbar.

Eine größere Zahl, die dieses Produkt teilt, gibt es nicht, denn für das kleinste pythagoreische Quadrupel (also für $(a,b,c,d)=(1,2,2,3)$) gilt $1\cdot 2\cdot 2\cdot 3=12$. Somit kann es keine größere Zahl geben, die das Produkt teilt.

Erzeugung von pythagoreischen Quadrupeln

• Methode 1:

Seien $(m,n,p,q)$ positive ganze Zahlen. Dann kann die Menge der pythagoreischen Quadrupel mit ungeradem $a$ wie folgt erzeugt werden:

$\begin{array}{cc}a& =m^2+n^2-p^2-q^2,\\ b& =2(mq+np),\\ c& =2(nq-mp),\\ d& =m^2+n^2+p^2+q^2\end{array}$

Gelten zusätzlich die folgenden elf Bedingungen, dann kann damit die Menge von primitiven pythagoreischen Quadrupeln mit ungeradem $a$ erzeugt werden.

$\begin{array}{ccc}nq>mp,& & m^2+n^2>p^2+q^2,\\ m\ge 0,n\ge 1,p\ge 0,q\ge 1,& & m+p\ge 1,\\ m+n+p+q\equiv 1(\mathrm{mod}2),& & \text{ das heißt, }m+n+p+q\text{ ist ungerade (also muss ein Wert oder müssen drei Werte gerade Zahlen sein)}\\ ggT(m^2+n^2,p^2+q^2,mq+np)=1,& & \\ m=0⟹q\le p,& & p=0⟹n\le m\end{array}$

Alle primitiven pythagoreischen Quadrupel erfüllen somit die diophantische Gleichung $d^2=a^2+b^2+c^2$, welche man auch Lebesguesche Identität nennt:

$(m^2+n^2+p^2+q^2{)}^2=(m^2+n^2-p^2-q^2{)}^2+(2mq+2np{)}^2+(2nq-2mp{)}^2$

Beispiel 1:

Sei $m:=1,n:=7,p:=2$ und $q:=5$. Dann sind alle zusätzlichen Bedingungen erfüllt und es ist $a=21,b=38,c=66$ und $d=79$ und tatsächlich ist $a^2+b^2+c^2=21^2+38^2+66^2=79^2=d^2(=6241)$ ein primitives pythagoreisches Quadrupel.

Beispiel 2:

Sei $m:=2,n:=3,p:=5$ und $q:=9$. Dann ist die zusätzliche Bedingung $m^2+n^2=13\stackrel{!}{>}106=p^2+q^2$ zwar nicht erfüllt, es ist aber $a=-93,b=66,c=34$ und $d=119$ wegen $a^2+b^2+c^2=(-93{)}^2+66^2+34^2=119^2=d^2(=14161)$ trotzdem ein pythagoreisches Quadrupel, allerdings mit $a=-93<0$.

Beispiel 3:

Sei $m:=1,n:=3,p:=1$ und $q:=2$. Dann ist $a=5,b=10,c=10$ und $d=15$ und tatsächlich ist $a^2+b^2+c^2=5^2+10^2+10^2=15^2=d^2(=225)$. Allerdings ist dieses pythagoreische Quadrupel nicht primitiv, weil $\mathrm{ggT}(a,b,c,d)=5=1$ und die Bedingung $\mathrm{ggT}(m^2+n^2,p^2+q^2,mq+np)=5=1$ ist.

• Methode 2:

Alle pythagoreischen Quadrupel (inklusive der nicht-primitiven) können wie folgt aus zwei positiven ganzen Zahlen $a$ und $b$ erzeugt werden:

Sei die Parität von $a$ und $b$ verschieden (sei also entweder $a$ gerade und $b$ ungerade oder $a$ ungerade und $b$ gerade). Sei weiters $p$ ein Faktor von $a^2+b^2$ mit $p^2<a^2+b^2$. Dann gilt:

$c=\frac{a^2+b^2-p^2}{2p}$ und $d=\frac{a^2+b^2+p^2}{2p}$ mit $p=d-c$

Beispiel:

Sei $a:=2,b:=11$ und $p:=5$. Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt und es ist $c=10$ und $d=15$ (und es ist $p=d-c$) und tatsächlich ist $a^2+b^2+c^2=2^2+11^2+10^2=15^2=d^2(=225)$.

• Methode 3:

Seien $a=2l$ und $b=2m$ gerade Zahlen. Sei außerdem $n$ ein Teiler von $l^2+m^2$ mit $n^2<l^2+m^2$. Dann gilt:

$c=\frac{l^2+m^2-n^2}{n}$ und $d=\frac{l^2+m^2+n^2}{n}$

Diese Methode erzeugt alle pythagoreischen Quadrupel exakt ein Mal, wenn $l$ und $m$ alle Paare natürlicher Zahlen durchlaufen und $n$ alle möglichen Werte für jedes Paar durchläuft.

Beispiel:

Sei $a:=14,b:=6$ und $n:=2$. Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt, $l=7$, $m=3$ und es ist $c=27$ und $d=31$ und tatsächlich ist $a^2+b^2+c^2=14^2+6^2+27^2=31^2=d^2(=961)$.

• Es gibt kein pythagoreisches Quadrupel, bei dem mehr als eine der Zahlen $a$, $b$, $c$ ungerade ist.

• Methode 4:

Sei $n$ eine positive ganze Zahl. Dann kann ein pythagoreisches Quadrupel wie folgt erzeugt werden:

$\begin{array}{cc}a& =n,\\ b& =n+1,\\ c& =ab,\\ d& =c+1\end{array}$

Beispiel:

Sei $n=a=3$, $b=4$ und $c=12$. dann ist $d=13$, und tatsächlich ist $a^2+b^2+c^2=3^2+4^2+12^2=13^2=d^2(=169)$.

• Methode 5:

Seien $x,y,z$ drei positive ganze Zahlen. Dann lässt sich ein pythagoreisches Quadrupel $(a,b,c,d)$ wie folgt erzeugen:

$\begin{array}{cc}a& =x^2-y^2-z^2,\\ b& =2xy,\\ c& =2xz,\\ d& =x^2+y^2+z^2\end{array}$

Beispiel:

Sei $x=2$, $y=1$ und $z=1$.

So ist $a=2$, $b=4$, $c=4$ und $d=6$ tatsächlich ein pythagoreisches Quadrupel, denn $a^2+b^2+c^2=2^2+4^2+4^2=6^2=d^2(=36)$. Hierbei handelt es sich um das Doppelte des primitiven $(1,2,2,3)$ Quadrupels.

Siehe auch

• Pythagoreisches Tripel
• Drei-Quadrate-Satz

Weblinks

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