Punkt des gleichen Umwegs

Isoperimetrischer Punkt Q, Inkreismittelpunkt I, Gergonne-Punkt G, Punkt gleichen Umwegs P
gleiche Umwege:
$h_A+h_C-b=h_A+h_B-c=h_B+h_C-a$Harmonische Verwandtschaft:$\frac{|QI|}{|PI|}=\frac{|QG|}{|PG|}$

Der Punkt des gleichen Umwegs ist ein besonderer Punkt in einem Dreieck $ABC$. Dieser Punkt $P$ ist dadurch gekennzeichnet, dass der Umweg von $A$ über $P$ nach $B$ ebenso groß ist wie der Umweg von $A$ über $P$ nach $C$ und der Umweg von $B$ über $P$ nach $C$. Hierbei versteht man unter der Länge des Umwegs die Länge der Strecke, die man zusätzlich zur kürzesten Verbindung zurücklegt und es gilt dementsprechend:

$\begin{array}{cc}& |AP|+|PC|-|AC|\\ =& |AP|+|PB|-|AB|\\ =& |BP|+|PC|-|BC|\end{array}$.

Eindeutigkeit

Der Punkt des gleichen Umwegs hat die Kimberling-Nummer X(176). Er ist der einzige Punkt mit der obigen Eigenschaft, wenn für die Winkel $\alpha ,\beta ,\gamma$ des Dreiecks $ABC$ die folgende Ungleichung erfüllt ist:

$\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)+\tan \left(\frac{\beta }{2}\right)+\tan \left(\frac{\gamma }{2}\right)\le 2$.

Ist die Ungleichung nicht erfüllt, so besitzt auch der isoperimetrische Punkt die Eigenschaft des gleichen Umwegs.

Eigenschaften

• Der Punkt des gleichen Umwegs ist harmonisch verwandt mit dem isoperimetrischen Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Gergonne-Punkt und kollinear zu diesen drei Punkten.
• Die Umwege sind gleich dem Durchmesser des inneren Soddy-Kreises.
• Die baryzentrischen Koordinaten sind:

$(a+\frac{\mathrm{\Delta }}{s-a}:b+\frac{\mathrm{\Delta }}{s-b}:c+\frac{\mathrm{\Delta }}{s-c})$.

Hierbei steht $\mathrm{\Delta }$ für den Flächeninhalt und $s$ für den halben Umfang des Dreiecks $ABC$.

• Die trilinearen Koordinaten sind:

$(\sec \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)+1:\sec \left(\frac{\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)+1:\sec \left(\frac{\gamma }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)+1)$.

Weblinks

• isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf Geogebratube