Isoperimetrischer Punkt

Isoperimetrischer Punkt P, Inkreismittelpunkt I, Gergonne-Punkt G, Punkt gleichen Umwegs T

Der isoperimetrische Punkt ist ein ausgezeichneter Punkt in einem Dreieck ABC. Es handelt sich um den Punkt P in diesem Dreieck, für den die Teildreiecke PBC, PCA und PAB gleichen Umfang haben. Der isoperimetrische Punkt hat die Kimberling-Nummer X(175).

Eigenschaften

Isoperimetrischer Punkt im rechtwinkligen Dreieck

• Der isoperimetrische Punkt ist harmonisch verwandt zum Punkt des gleichen Umwegs in Bezug auf den Inkreismittelpunkt und den Gergonne-Punkt und somit kollinear zu diesen drei Punkten.
• Die Umfänge von PBC, PCA und PAB betragen $\frac{2\mathrm{△}}{|4R+r-(a+b+c)|}$ und sind gleich dem Durchmesser des äußeren Soddy-Kreises.
• Der isoperimetrische Punkt existiert genau dann, wenn der Umfang von ABC größer ist als $4R+r$, wobei $R$ der Radius des Umkreises und $r$ der Radius des Inkreises ist.
• In einem rechtwinkligen Dreieck existiert der isoperimetrische Punkt immer und ist er besonders einfach zu finden. Der Radius des äußeren Soddy-Kreises ist in dem Fall gleich dem Halbumfang.

Koordinaten

Isoperimetrischer Punkt ($X_{175}$)
Trilineare Koordinaten	$(\sec \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}-1):(\sec \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}\cos \frac{\alpha }{2}-1):(\sec \frac{\gamma }{2}\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}-1)$
Baryzentrische Koordinaten	$(a-\frac{\mathrm{\Delta }}{s-a}):(b-\frac{\mathrm{\Delta }}{s-b}):(c-\frac{\mathrm{\Delta }}{s-c})$

Hierbei steht $\mathrm{\Delta }$ für den Flächeninhalt und $s$ für den halben Umfang von ABC.

Literatur

• G. R. Veldkamp: The Isoperimetric Point and the Point(S) of Equal Detour in a Triangle. In: The American Mathematical Monthly, Band 92, Nr. 8, Okt. 1985, S. 546–558 (Vorlage:JSTOR)

Weblinks

• Isoperimetrisch punt (niederländisch)
• C. Kimberling: Isoperimetric Point And Equal Detour Point
• Vorlage:MathWorld
• isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf GeoGebratube