Primzahlzwillings-Bi-Kette

In der Zahlentheorie ist eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ eine Primzahlenfolge der Form

$(n-1,n+1),(2n-1,2n+1),\dots (2^k\cdot n-1,2^k\cdot n+1)$

(der Ausdruck kommt vom englischen Bi-twin chain bzw. Bitwin chain).

Beispiele

• Die kleinsten $n$, welche eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 generieren (also auf die beiden Paare $(n-1,n+1),(2n-1,2n+1)$ führen), sind die folgenden:

6, 30, 660, 810, 2130, 2550, 3330, 3390, 5850, 6270, 10530, 33180, 41610, 44130, 53550, 55440, 57330, 63840, 65100, 70380, 70980, 72270, 74100, 74760, 78780, 80670, 81930, 87540, 93240, 102300, 115470, 124770, 133980, 136950, 156420, … (Vorlage:OEIS)

• Die kleinsten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge $k+1$ sind die folgenden (dabei ist $n\mathrm{\#}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\dots \cdot n$ das Produkt aller Primzahlen bis $n$ (Primfakultät)):

$k+1$	kleinste bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ (Stand: 20. Juni 2017)	Dezimal- stellen	Entdeckungs- datum	Entdecker
$1$	$2\mathrm{\#}\cdot 2\pm 1$ (also $(3,5)$)	$1$	---	---
$2$	$3\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=0,1$ (also $(5,7),(11,13)$)	$1$ und $2$	---	---
$3$	$1005\cdot 7\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=0,1,2$	$6$	September 1998	Henri Lifchitz
$4$	$151\cdot 7\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=3,4,5,6$	$6$ bis $7$	September 1998	Henri Lifchitz
$5$	$1394847\cdot 13\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4$	$11$ bis $12$	Dezember 1998	Jack Brennen
$6$	$1228253271\cdot 13\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=1,2,3,4,5,6$	$14$ bis $16$	Dezember 1998	Jack Brennen
$7$	$11228462199623\cdot 13\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4,5,6$	$18$ bis $20$	Oktober 1999	Paul Jobling
$8$	$21033215071024191\cdot 13\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4,5,6,7$	$21$ bis $23$	Februar 2002	Paul Jobling, Phil Carmody
$9$	$1873321386459914635\cdot 13\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$	$24$ bis $26$	Dezember 2008	Jaroslaw Wroblewski

• Die größten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge $k+1$ sind die folgenden:

$k+1$	größte bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ (Stand: 20. Juni 2017)	Dezimal- stellen	Entdeckungs- datum	Entdecker	Quelle
$1$	$2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$	$388342$	September 2016	Tom Greer
$2$	$117864619517\cdot 6907\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=1,2$	$2971$ und $2972$	Juni 2017	Oscar Östlin
$3$	$204035674219\cdot 1609\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=0,1,2$	$695,695$ und $695$	Juli 2016	Didier Boivin
$4$	$9185178409925\cdot 487\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=0,1,2,3$	$214,214,215$ und $215$	Februar 2017	Didier Boivin
$5$	$4423253751167971164005\cdot 307\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=15,16,17,18,19$	$149,150,150,150$ und $151$	April 2015	Andrey Balyakin
$6$	$386727562407905441323542867468313504832835283009085268004408453725770596763660073\cdot 61\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=45,46,47,48,49,50$	$118,118,118,119,$ $119$ und $119$	April 2014	Primecoin
$7$	$1165654412459516061933\cdot 73\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=7,8,9,10,11,12,13$	$52,53,53,53,$ $53,54$ und $54$	April 2015	Andrey Balyakin
$8$	$10739718035045524715\cdot 13\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4,5,6,7$	$24,24,25,25,25,$ $26,26$ und $26$	Dezember 2008	Jaroslaw Wroblewski
$9$	$1873321386459914635\cdot 13\mathrm{\#}\cdot 2^n\pm 1$ mit $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$	$24,24,24,24,25,$ $25,25,26$ und $26$	Dezember 2008	Jaroslaw Wroblewski

Die Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 9 ist momentan (Stand: 20. Juni 2017) die längste bekannte Kette. Es ist auch gleichzeitig die einzige bekannte Kette dieser Länge.

Eigenschaften

• Eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 1 hat die Form $(n-1,n+1)$. Man nennt sie Primzahlzwilling.
• Jedes der Paare $(2^i\cdot n-1,2^i\cdot n+1)$ mit $0\le i\le k$ ist ein Primzahlzwilling.
• Die Zahlen $n-1,2n-1,\dots ,2^{k}n-1$ bilden eine Cunningham-Kette der ersten Art mit $k+1$ Gliedern.
• Die Zahlen $n+1,2n+1,\dots ,2^{k}n+1$ bilden eine Cunningham-Kette der zweiten Art mit $k+1$ Gliedern.
• Jede Primzahl der Form $2^i\cdot n-1$ mit $0\le i\le k-1$ ist eine Sophie-Germain-Primzahl.
• Jede Primzahl der Form $2^i\cdot n-1$ mit $1\le i\le k$ ist eine sichere Primzahl.
• Sei $n\in \mathbb{N}$ mit $n>6$, sodass $(n-1,n+1),(2n-1,2n+1)$ mindestens eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 ist. Dann gilt:

$n=30k$ mit $k\in \mathbb{N}$

Verallgemeinerung

Eine verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ ist eine Primzahlenfolge der Form

$(n-1,n+1),(b\cdot n-1,b\cdot n+1),\dots (b^k\cdot n-1,b^k\cdot n+1)$ mit $b\in \mathbb{N}$

Beispiele

• Die größten verallgemeinerten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge $k+1$ sind die folgenden:

$k+1$	größte bekannte verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ (Stand: 20. Juni 2017)	Dezimal- stellen	Entdeckungs- datum	Entdecker
$1$	$570323880\cdot \frac{16500\mathrm{\#}}{673949}\cdot b^n\pm 1$ mit $b=8087388$ und $n=1,2$	$7120$ und $7127$	September 2004	Phil Carmody, Jens K. Andersen
$2$	$2203\mathrm{\#}\cdot 2^{161}\cdot 3^{66}\cdot 5^{69}\cdot 7^{73}\cdot 11^{23}\cdot 13^{23}\cdot 17^{26}\cdot 19^{23}\cdot 23^{22}\cdot 29^{22}\cdot 31^{22}\cdot 37^{25}\cdot 41^{23}\cdot 43^{25}\cdot 47^{25}\cdot 53^{26}\cdot 59^{25}\cdot 61^{23}\cdot b^n\pm 1$ mit $b=2^{21}\cdot 3^{12}\cdot 5^{11}\cdot 7^9\cdot 11^3\cdot 13^3\cdot 17^2\cdot 19^3\cdot 23^4\cdot 29^4\cdot 31^4\cdot 37^3\cdot 41^3\cdot 43^3\cdot 47^3\cdot 53^2\cdot 59^3\cdot 61^3$ und $n=1,2,3$	$1702,1793$ und $1884$	Oktober 2004	Ralph Twain
$3$	$\frac{66\cdot 630^5\cdot 22218733^2\cdot 19\mathrm{\#}\cdot 317\mathrm{\#}}{561857}\cdot b^n\pm 1$ mit $b=\frac{8084448001600\cdot (13\mathrm{\#}{)}^3\cdot 197\mathrm{\#}}{12863477}$ und $n=1,2,3,4$	$261,360,459$ und $558$	August 2004	Jens K. Andersen
$4$	$(1250561\cdot 151\mathrm{\#}+423642234015)\cdot b^n\pm 1$ mit $b=4$ und $n=1,2,3,4,5$	$67,67,68,68$ und $69$	August 2004	Jens K. Andersen
$5$	$\frac{526583\cdot 83\mathrm{\#}+27663009\cdot 19\mathrm{\#}}{4}\cdot b^n\pm 1$ mit $b=4$ und $n=1,2,3,4,5,6$	$39,39,40,40,41$ und $42$	August 2004	Jens K. Andersen
$6$	$1394855870347655081\cdot 13\mathrm{\#}\cdot b^n\pm 1$ mit $b=4$ und $n=2,3,4,5,6,7,8$	$24,25,26,26,27,27$ und $28$	August 2004	Jens K. Andersen

Weblinks

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