Prime Restklassengruppe

Die prime Restklassengruppe ist die Gruppe der primen Restklassen bezüglich eines Moduls $n$. Sie wird als $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ oder ${\mathbb{Z}}_n^{*}$ notiert. Die primen Restklassen sind genau die multiplikativ invertierbaren Elemente im Restklassenring. Die primen Restklassengruppen sind daher endliche abelsche Gruppen bezüglich der Multiplikation. Sie spielen in der Kryptographie eine bedeutende Rolle.

Die Gruppe besteht aus den Restklassen $a+n\mathbb{Z}$, deren Elemente zu $n$ teilerfremd sind. Gleichwertig dazu muss für den Repräsentanten $a$ der Restklasse $\mathrm{ggT}(a,n)=1$ gelten, wobei ggT den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet. Darauf weist die Bezeichnung „prime Restklasse“ hin, für teilerfremd sagt man auch relativ prim. Die Gruppenordnung von ${\mathbb{Z}}_n^{*}$ ist durch den Wert $\phi (n)$ der eulerschen φ-Funktion gegeben.

Struktur

Bezeichnet $v_p$ die $p$-Bewertung von $n$ (die Vielfachheit des Primfaktors $p$ in $n$), ist also

$n=\prod _p{p}^{v_p}$

die Primfaktorzerlegung von $n$, dann gilt:

$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \prod _p(\mathbb{Z}/p^{v_p}\mathbb{Z}{)}^{\times }$

$\cong \{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2^{v_2-2}\mathbb{Z}\times \prod _{p\ne 2}\mathbb{Z}/(p-1)p^{v_p-1}\mathbb{Z}& \mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}8\mid n\\ \prod _p\mathbb{Z}/(p-1)p^{v_p-1}\mathbb{Z}& \mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.\end{array}$

oder mithilfe von $\phi$ und der Schreibweise $C_n$ für eine zyklische Gruppe ausgedrückt:

$\cong \{\begin{array}{cc}{C}_2\times C_{2^{v_2-2}}\times \prod _{p\ne 2}{C}_{\phi (p^{v_p})}& \mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}8\mid n\\ \prod _p{C}_{\phi (p^{v_p})}& \mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.\end{array}$

Die erste Isomorphieaussage (Zerlegung des Moduls $n$ in seine Primfaktoren) folgt aus dem chinesischen Restsatz. Die zweite Isomorphieaussage (Struktur der primen Restklassengruppe modulo Primzahlpotenz) folgt aus der Existenz gewisser Primitivwurzeln (siehe auch den zugehörigen Hauptartikel Primitivwurzel).

Beachte: Mit den Gruppen ohne hochgestelltes $\times$ sind die additiven Gruppen $\mathbb{Z}/(p-1)p^{v_p-1}\mathbb{Z}$ etc. gemeint!

$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ ist genau dann zyklisch, wenn $n$ gleich $1,2,4,p^r$ oder $2p^r$ ist mit einer ungeraden Primzahl $p$ und einer positiven Ganzzahl $r$. Genau dann existieren auch Primitivwurzeln modulo $n$, also Ganzzahlen $a$, deren Restklasse $a+n\mathbb{Z}$ ein Erzeuger von $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ ist.

Sonderfall: Modul ist Primzahl

Wenn $n=p$ eine Primzahl ist, wird für den (genau dann) ausgebildeten Körper (engl. Field) $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ meist ${𝔽}_p$ geschrieben; es ist dann ${𝔽}_p^{\times }={𝔽}_p\setminus \{\overline{0}\}$; insbesondere ist die Gruppenordnung $\mathrm{\#}{𝔽}_p^{\times }=\phi (p)=p-1$.

Berechnung der inversen Elemente

Zu jeder primen Restklasse $a+n\mathbb{Z}$ existiert eine prime Restklasse $b+n\mathbb{Z}$, sodass gilt:

$ab\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

Die prime Restklasse $b+n\mathbb{Z}$ ist also das inverse Element zu $a+n\mathbb{Z}$ bezüglich der Multiplikation in der primen Restklassengruppe ${\mathbb{Z}}_n^{*}$. Ein Repräsentant von $b+n\mathbb{Z}$ lässt sich mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus bestimmen. Der Algorithmus wird auf $a$ und $n$ angewendet und liefert ganze Zahlen $s$ und $t$, die folgende Gleichung erfüllen:

$\mathrm{ggT}(a,n)=1=s\cdot a+t\cdot n$.

Daraus folgt $1\equiv sa(\mathrm{mod}n)$, das heißt, $s$ ist ein Repräsentant der zu $a+n\mathbb{Z}$ multiplikativ inversen Restklasse $b+n\mathbb{Z}$.

Literatur

Die Disquisitiones Arithmeticae wurden von Carl Friedrich Gauß auf Latein veröffentlicht. Die zeitgenössische deutsche Übersetzung umfasst alle seine Schriften zur Zahlentheorie:

• Carl Friedrich Gauß: Untersuchungen über höhere Arithmetik (deutsche Übersetzung), Original: Leipzig 1801.

• Armin Leutbecher: Zahlentheorie – Eine Einführung in die Algebra. 1. Auflage. Springer Verlag, 1996, Berlin Heidelberg New York. ISBN 3-540-58791-8.