Praktische Zahl

In der Zahlentheorie ist eine praktische Zahl (von Vorlage:EnS, auch panarithmic number) eine natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ mit der Eigenschaft, dass jede kleinere Zahl als Summe von paarweise verschiedenen echten Teilern von $n$ geschrieben werden kann.

Der Mathematiker A. K. Srinivasan hat diese Zahlen erstmals im Jahr 1948 erwähnt.

Beispiele

• Die Zahl $n=28$ hat die echten Teiler $1,2,4,7$ und $14$. Man kann alle kleineren Zahlen als Summe dieser echten Teiler schreiben:

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{𝟏}=1,& \mathrm{𝟐}=2,& \mathrm{𝟑}=2+1,& \mathrm{𝟒}=4,& \mathrm{𝟓}=4+1,& \mathrm{𝟔}=4+2,& \mathrm{𝟕}=7,\\ \mathrm{𝟖}=7+1,& \mathrm{𝟗}=7+2,& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}=7+2+1,& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟏}=7+4,& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}=7+4+1,& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟑}=7+4+2,& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟒}=14,\\ \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟓}=14+1,& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}=14+2,& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟕}=14+2+1,& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}=14+4,& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟗}=14+4+1,& \mathrm{𝟐}\mathrm{𝟎}=14+4+2,& \mathrm{𝟐}\mathrm{𝟏}=14+7,\\ \mathrm{𝟐}\mathrm{𝟐}=14+7+1,& \mathrm{𝟐}\mathrm{𝟑}=14+7+2,& \mathrm{𝟐}\mathrm{𝟒}=14+7+2+1,& \mathrm{𝟐}\mathrm{𝟓}=14+7+4,& \mathrm{𝟐}\mathrm{𝟔}=14+7+4+1,& \mathrm{𝟐}\mathrm{𝟕}=14+7+4+2\end{array}$

Offenbar kann man alle Zahlen $m<28$ als Summe dieser echten Teiler schreiben. Somit ist $n=28$ eine praktische Zahl.

• Die Zahl $n=26$ hat die echten Teiler $1,2$ und $13$. Man kann die folgenden kleineren Zahlen als Summe dieser echten Teiler schreiben:

1=1, 2=2, 3=2+1, …

Aber schon die Zahl 4 kann man nicht mehr als Summe dieser echten Teiler schreiben, weil die Voraussetzung Summe von paarweise verschiedenen echten Teiler gebrochen werden müsste, nämlich 4=2+2. Somit ist die Zahl $n=26$ keine praktische Zahl.

• Die folgenden Zahlen sind die kleinsten praktischen Zahlen (die 198. praktische Zahl ist $n=1000$):

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 176, 180, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 224, 228, 234, 240, 252, …, 984, 990, 992, 1000, 1008, … (Vorlage:OEIS)

Eigenschaften

• Eine praktische Zahl, die defizient ist, ist leicht defizient (die Summe aller echten Teiler einer praktischen Zahl ist also höchstens 1 kleiner als die Zahl selbst).
• Alle Zahlen der Form $n=2^{k-1}(2^k-1)$ mit $k\in \mathbb{N},k\ge 2$ sind praktische Zahlen.
• Alle geraden vollkommenen Zahlen sind praktische Zahlen.
• Sei $n\in \mathbb{N}$ das Produkt von Potenzen (ungleich Null) der ersten $k$ Primzahlen. Dann gilt:

$n\in \mathbb{N}$ ist eine praktische Zahl.

Insbesondere ist jede Primfakultät (also jedes Produkt der ersten $k$ Primzahlen mit $k\in \mathbb{N}$) eine praktische Zahl.

• Alle Hochzusammengesetzte Zahlen sind praktische Zahlen.
• Alle Zahlen der Form $2^k$ mit $k\in \mathbb{N}$, also jede Zweierpotenz, sind praktische Zahlen.
• Die einzige ungerade praktische Zahl ist $n=1$.

Beweis:

Angenommen, es sei $m>2$ eine ungerade Zahl. Dann hat diese Zahl die echten Teiler $1$ und irgendwelche größeren Teiler $k\ge 3$. Somit kann man aber die Zahl 2 nicht als Summe ihrer echten Teiler darstellen. Somit kann $m$ keine praktische Zahl sein. $◻$

• Sei $n\ge 4$ eine praktische Zahl. Dann gilt:

$n$ ist ein Vielfaches von 4 oder 6 (oder von beiden Zahlen).

Diese Aussage wurde von A. K. Srinivasan bewiesen.

• Das Produkt von zwei praktischen Zahlen ist wieder eine praktische Zahl. Die Menge der praktischen Zahlen ist daher abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.

Beweis: siehe

• Sei $n\in \mathbb{N}$ eine praktische Zahl und $d$ ein Teiler von $n$. Dann gilt:

$n\cdot d$ ist ebenfalls eine praktische Zahl.

• Das kleinste gemeinsame Vielfache (kurz kgV) von zwei praktischen Zahlen ist wieder eine praktische Zahl.
• Es existieren unendlich viele Fibonacci-Zahlen, welche praktische Zahlen sind. Man nennt sie praktische Fibonacci-Zahlen. Die kleinsten lauten:

1, 2, 8, 144, 46368, 832040, 14930352, 267914296, 4807526976, 1548008755920, 498454011879264, 160500643816367088, 2880067194370816120, 51680708854858323072, 16641027750620563662096, 5358359254990966640871840, … (Vorlage:OEIS)

• Für jede positive rationale Zahl $m\in {\mathbb{Q}}^{+}$ gilt:

Es gibt eine Darstellung von $m$ als Summe von endlich vielen Stammbrüchen mit paarweise verschiedenen Nennern, wobei jeder Nenner eine praktische Zahl ist (eine sogenannte Zerlegung in ägyptische Brüche).

Mit anderen Worten: Sei $m\in {\mathbb{Q}}^{+}$. Dann gilt:

$m=\sum _{i=1}^k\frac{1}{q_i}$ mit paarweise verschiedenen praktischen Zahlen $q_i$ und $k\in \mathbb{N}$

Beispiel 1:

Sei $m=\frac{25}{31}$. Dann kann man diese Zahl mittels eines speziellen Verfahrens zerlegen in die vier Stammbrüche

$m=\frac{25}{31}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{18}+\frac{1}{1116}$

Diese Zerlegung ist eine Zerlegung in ägyptische Brüche. Man erhält die Nenner $2,4,18$ und $1116$. Tatsächlich sind diese vier Nenner allesamt praktische Zahlen.

Nicht immer erhält man mit diesem Verfahren sofort praktische Zahlen, aber es gibt immer eine solche Darstellung:

Beispiel 2:

Sei $m=\frac{14}{17}$. Dann kann man diese Zahl mittels desselben Verfahrens zerlegen in die vier Stammbrüche

$m=\frac{14}{17}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{5}{68}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{14}+\frac{1}{476}$

Diese Zerlegung ist keine Zerlegung in ägyptische Brüche. Man erhält die Nenner $2,4,14$ und $476$. Es sind zwar drei dieser vier Nenner praktische Zahlen ($2,4$ und $476$), aber $14$ ist keine praktische Zahl. Somit muss man den Bruch $\frac{5}{68}$ mit Gewalt auf den nächstbesten Nenner bringen, der eine praktische Zahl ist, nämlich $\frac{1}{16}$. Letztendlich erhält man folgende ägyptische Brüche:

$m=\frac{14}{17}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{96}+\frac{1}{1632}$

Man erhält die Nenner $2,4,16,96$ und $1632$. Tatsächlich sind diese fünf Nenner allesamt praktische Zahlen.

• Jede gerade natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ kann dargestellt werden als Summe von zwei praktischen Zahlen $n_1$ und $n_2$.
• Es gibt unendlich viele Tripel (=Dreiertupel) $(n-2,n,n+2)$ von praktischen Zahlen.
• Es gibt immer mindestens eine praktische Zahl im Intervall $[x^2,(x+1{)}^2]$ für alle positiven reellen Zahlen $x\in {ℝ}^{+}$.
• Sei $p(x)$ die Anzahl der praktischen Zahlen, welche kleiner oder gleich $x\in \mathbb{N}$ sind. Dann gilt:

$p(x)=\frac{c\cdot x}{\log x}(1+O\left(\frac{\log \log x}{\log x}\right))$ mit $x\ge 3$ und einer Konstanten $c>0$

Ungelöste Probleme

• Es wird vermutet, dass es unendlich viele Fünfertupel $(n-6,n-2,n,n+2,n+6)$ von praktischen Zahlen gibt.

Primitive praktische Zahlen

Eine primitive praktische Zahl $n\in \mathbb{N}$ ist eine praktische Zahl, die eine der beiden folgenden Eigenschaften besitzt:

• Sie ist quadratfrei.
• Wenn man sie durch einen ihrer Primfaktoren teilt, dessen Exponent größer als $1$ ist, darf das Ergebnis keine praktische Zahl mehr sein.

Beispiele

• Die Zahl $n=28$ ist, wie weiter oben schon gezeigt wurde, eine praktische Zahl. Sie ist nicht quadratfrei, weil $n=28=2^2\cdot 7$ ist. Wenn man sie durch einen ihrer Primfaktoren teilt, dessen Exponent größer als $1$ ist, also durch $p=2$, erhält man $\frac{28}{2}=14$, welche keine praktische Zahl ist. Somit ist $n=28$ eine primitive praktische Zahl.
• Die Zahl $n=108$ ist eine praktische Zahl. Ihre Primfaktorzerlegung ist $n=108=2^2\cdot 3^3$. Wenn man sie durch einen ihrer Primfaktoren teilt, dessen Exponent größer als $1$ ist, also durch $p=2$ oder durch $p=3$, erhält man $\frac{108}{2}=54$ beziehungsweise $\frac{108}{3}=36$, welche beide noch immer praktische Zahlen sind. Somit ist $n=108$ keine primitive praktische Zahl.
• Die kleinsten primitiven praktischen Zahlen sind die folgenden (es gibt genau 61 davon, welche kleiner oder gleich 1000 sind):

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460, 462, 464, 476, 496, 510, 522, 532, 546, 558, 570, 580, 620, 644, 666, 690, 714, 740, 744, 798, 812, 820, 858, 860, 868, 870, 888, 930, 966, 984, 1032, … (Vorlage:OEIS)

Eigenschaften

• Jede Primfakultät (also jedes Produkt der ersten $k$ Primzahlen mit $k\in \mathbb{N}$) ist eine primitive praktische Zahl.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Melfi, Practical numbers