Prädikatabbildung

Eine Prädikatabbildung ist eine mathematische Funktion, die einen logischen Wahrheitswert (wahr oder falsch) auf die Zahlen 0 oder 1 abbildet. Dadurch können störende Fallunterscheidungen so umgeformt werden, dass die resultierende Funktion in mathematischen Schlussfolgerungen einfacher verwendbar ist.

Definition

Die folgende Definition stammt von Kenneth E. Iverson, 1962:

Wenn $P(n)$ ein Prädikat ist, dann ist $[P(n)]$ folgendermaßen definiert:

$[P(n)]=\{\begin{array}{cc}1,& \text{wenn }P(n)\text{ wahr ist}\\ 0,& \text{wenn }P(n)\text{ nicht wahr ist}\end{array}$

D. h., dass diese Abbildung einen logischen Wahrheitswert auf einen in mathematischen Formeln weiterverwendbaren Ganzzahlenwert abbildet, und zwar wird eine wahre Aussage auf eine 1, und eine falsche Aussage auf eine 0 abgebildet (siehe Beispiel). Mit dieser Abbildung kann man nun aus komplexen Formeln mit Fallunterscheidungen eine einzige Formel machen.

Beispiel

Die Fibonaccizahlen sind durch folgende Rekurrenzgleichung definiert:

$f_n=\{\begin{array}{cc}0,& \text{wenn }n\le 0\\ 1,& \text{wenn }n=1\\ f_{n-1}+f_{n-2},& \text{wenn }n>1\end{array}$

Mit der Abbildung von Iverson kann man diese Rekurrenzgleichung in eine einfache Form überführen:

$f_n=(f_{n-1}+f_{n-2})\cdot [n>1]+[n=1]$

Der Teil $(f_{n-1}+f_{n-2})$ entspricht der rekursiven Definition der Fibonaccizahlen. Der Faktor $[n>1]$ entfernt für alle Fibonaccizahlen mit einem Index kleiner oder gleich 1 diesen rekursiven Teil. Und $[n=1]$ ist genau dann gleich 1, wenn der Index $n$ gleich 1 ist. Dadurch wird die Fibonaccizahl mit dem Index 1 gleich 1, und dadurch ist gewährleistet, dass die Fibonaccizahlen mit einem Index größer als 1 auch einen Wert größer als 0 haben.

Mit dieser Formel kann man nun einfacher die geschlossene Formel bestimmen.

Siehe auch

• Indikatorfunktion