Poisson-Transformation

In der Mathematik ist die Poisson-Transformation ein Verfahren zur Konstruktion harmonischer Funktionen auf der Einheitskreisscheibe. Das Integral, das in dieser Konstruktion auftaucht, heißt Poisson-Integral und der Integralkern dessen wird Poisson-Kern genannt. Benannt sind sowohl die Transformation, das Integral und der Integralkern nach dem Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson.

Problemstellung

Gegeben ist eine (beschränkte) Funktion auf dem Einheitskreis $S^1=\partial D^2$, gesucht wird eine (beschränkte) harmonische Funktion auf der Einheitskreisscheibe $D^2$, deren Werte auf dem Rand mit der gegebenen Funktion $f$ übereinstimmen.

Mit anderen Worten: es soll das Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=0$

auf der Kreisscheibe gelöst werden.

Konstruktion

Der Poisson-Kern ist die durch

$P(x,\xi )=\frac{1-\Vert x{\Vert }^2}{\Vert \xi -x{\Vert }^2}\mathrm{\forall }x\in D^2,\xi \in S^1$

gegebene Funktion.

Die Poisson-Transformation ist die Integraltransformation mit Integralkern $P$: einer Funktion $f\in L^{\mathrm{\infty }}(S^1)$ wird die auf $D^2$ definierte Funktion

$Pf(x)=\underset{S^1}{\int }f(\xi )P(x,\xi )d\sigma (\xi )\mathrm{\forall }x\in D^2$

zugeordnet, wobei $d\sigma$ das uniforme Wahrscheinlichkeitsmaß auf $S^1$ bezeichnet.

Man kann zeigen, dass $Pf$ eine beschränkte harmonische Funktion ist.

Bijektion

Die Poisson-Transformation stellt eine Bijektion zwischen der Menge der beschränkten Funktionen auf $S^1$ und der Menge der beschränkten harmonischen Funktionen auf $D^2$ her.

Mit anderen Worten: zu jeder Funktion $f\in L^{\mathrm{\infty }}(S^1)$ gibt es eine eindeutige harmonische Funktion $g\in L^{\mathrm{\infty }}(D^2)$ mit Randwerten $f$.

Die Bijektion erhält die $L^{\mathrm{\infty }}$-Norm.

Verallgemeinerungen

Die Poisson-Transformation lässt sich auf die n-dimensionale Einheitskugel verallgemeinern, in diesem Fall ist der Poisson-Kern $P(x,\xi )=\frac{1-\Vert x{\Vert }^2}{\Vert \xi -x{\Vert }^n}$ für $x\in D^n,\xi \in \partial D^n=S^{n-1}$.

Literatur

• Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1
• Quint, J.-F.: An overview of Patterson-Sullivan theory, Workshop "The barycenter method", FIM, Zurich, May 2006 (Online)