Peetre-Ungleichung

Die Peetre-Ungleichung, benannt nach Jaak Peetre, ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, genauer aus der Theorie der Hilberträume.

Es sei $H$ ein Hilbertraum. Dann gilt für alle $x,y\in H$ und für alle reellen Zahlen $t$ die Ungleichung

$\frac{(1+\Vert x{\Vert }^2{)}^t}{(1+\Vert y{\Vert }^2{)}^t}\le 2^{|t|}\cdot (1+\Vert x-y{\Vert }^2{)}^{|t|}.$

Diese Ungleichung wurde 1959 von J. Peetre bewiesen und wird für numerische und theoretische Abschätzungen eingesetzt. Stellt man obige Ungleichung zu

$(1+\Vert x{\Vert }^2{)}^t\le 2^{|t|}\cdot (1+\Vert x-y{\Vert }^2{)}^{|t|}\cdot (1+\Vert y{\Vert }^2{)}^t$

um, so erkennt man, dass diese Abschätzung in Sobolev-Räumen reellwertiger Ordnung hilfreich sein kann, denn dort treten unter einem Integral gerade Funktionen der Form $(1+\Vert x{\Vert }^2{)}^t$ auf. Eine Anwendung der Peetre-Ungleichung in dieser Richtung findet sich im unten angegebenen Lehrbuch bei der Untersuchung von Multiplikationsoperatoren auf Sobolev-Räumen.