Omega-2-Konstante des äquianharmonischen Falls

Die Omega-2-Konstante des äquianharmonischen Falls ist eine nichtelementare mathematische Konstante. Sie wurde von Karl Theodor Wilhelm Weierstraß eingeführt. Das Ableitungsquadrat von der Umkehrfunktion der verallgemeinerten Weierstraßschen ℘-Funktion ist immer der Kehrwert eines ganzrationalen kubischen Polynoms, bei dem der Koeffizient des kubischen Gliedes den Wert 4 und der Koeffizient des quadratischen Gliedes den Wert 0 annimmt. Wenn bei diesem kubischen Polynom der Koeffizient des linearen Gliedes den Wert 0 und der Koeffizient des absoluten Gliedes den Wert −1 annimmt, dann hat die reelle Halbperiode den Wert der Omega-2-Konstante.

Definition

Nach der genannten Beschreibung wird die Omega-2-Konstante auf folgende Weise definiert:

${\omega }_2=\underset{\sqrt[3]{1/4}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{4x^3-1}}\mathrm{d}x$

Im Dezimalsystem hat diese Konstante diese Nachkommastellen:

${\omega }_2\approx 1,5299540370571928749131941723\dots$

Eigenschaften

Diese Konstante kann über die Gammafunktion ausgedrückt werden:

${\omega }_2=\frac{1}{4\pi }\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3}{)}^3$

Ebenso kann die Omega-2-Konstante auf viele Weisen mit der eulerschen Betafunktion formuliert werden:

${\omega }_2=\frac{1}{6\sqrt[3]{2}}\mathrm{B}(\frac{1}{6};\frac{1}{6})=\frac{1}{2\sqrt{3}\sqrt[3]{4}}\mathrm{B}(\frac{1}{6};\frac{1}{3})=\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm{B}(\frac{1}{3};\frac{1}{3})=$

$=\frac{1}{3\sqrt[3]{4}}\mathrm{B}(\frac{1}{6};\frac{1}{2})=\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt[3]{4}}\mathrm{B}(\frac{1}{3};\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{3}\sqrt[3]{2}}\mathrm{B}(\frac{1}{6};\frac{2}{3})$

Sie kann auch mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art dargestellt werden:

${\omega }_2=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[4]{3}}K[\sin (\frac{\pi }{12}\left)\right]=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[4]{3}}\sec \left(\frac{\pi }{24}{)}^{2}K\right[\tan \left(\frac{\pi }{24}{)}^2\right]$

Analog zum Wallisschen Produkt kann folgende Formel aufgestellt werden:

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3k(3k+2)}{(3k+1{)}^2}={\omega }_2/\sqrt{3}$

Die Superellipse der Relation $x^3+y^3=1$ hat als Fläche unter dem Graph im ersten Quadranten folgenden Wert:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[3]{1-x^3}\mathrm{d}x={\omega }_2/\sqrt{3}$

Die Superellipse der Relation $x^6+y^6=1$ hat als Fläche unter dem Graph im ersten Quadranten folgenden Wert:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[6]{1-x^6}\mathrm{d}x={\omega }_2/\sqrt[3]{4}$

Als Analogon zur gaußschen Glockenkurve können folgende Integrale formuliert werden:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-x^3)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sqrt[3]{4\pi {\omega }_2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\exp (-x^3)\mathrm{d}x=\frac{1}{9}\sqrt{3}\sqrt[3]{2{\pi }^2{{\omega }_2}^{-1}}$

Bezug zur Landauschen Konstante

Die Landausche Konstante dient zur Ermittlung der Komplexitätsgrenze des Bildbereichs holomorpher Funktionen. Sie beschreibt im Satz von Bloch die Radiusschranken und steht mit der Omega-2-Konstante in folgender Beziehung:

$𝔏=\frac{1}{6}\sqrt[3]{4}\pi {\omega }_2^{-1}$

Weblinks

• Equianharmonic Case
• (PDF) Infinite Series for Omega-2 Constant

Literatur

• Milton Abramowitz, I. A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 55. 10th printing 1972.
• Eckhardt, U.: A rational approximation to Weierstrass’ ℘-function, in: Math. Comp.30 (1976), S. 818–826.
• Steven R. Finch: Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003.
• Gasper, G., Rahman, M.: An indefinite bibasic summation formula and some quadratic, cubic, and quartic summation and transformation formulas, Canad. J. Math.42 (1990), S. 1–27.
• Sloane, N. J. A: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Southard, T. H.: Approximation and table of the Weierstrass ℘-function in the equian-harmonic case for real argument, in: Math. Comp. 11(1957), S. 99–100.