Numerischer Wertebereich (Hilbertraum)

Der numerische Wertebereich ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der linearen Algebra.

Definition

Für einen komplexen Hilbertraum $H$ mit Skalarprodukt $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ und einen beschränkten linearen Operator $T:H\to H$ ist der numerische Wertebereich von $T$ gegeben durch

$W(T):=\{⟨Tx,x⟩:\Vert x\Vert =1\},$

wobei $\Vert \cdot \Vert$ die durch $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ auf $H$ induzierte Norm ist.

Analog zum Spektralradius definiert man den numerischen Radius durch $w(T):=\sup \{|\lambda |:\lambda \in W(T)\}$.

Im Spezialfall komplexwertiger, quadratischer Matrizen $A\in {ℂ}^{n\times n}$ ist die Definition des numerischen Wertebereichs gleichwertig zu

$W(A)=\{\frac{x^{*}Ax}{x^{*}x}:x\in {ℂ}^n\setminus \{0\}\}.$

$W(A)$ ist hier also der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften gelten für beschränkte lineare Operatoren $T:H\to H$.

• $W(T)\subseteq \{\lambda \in ℂ:|\lambda |\le \Vert T\Vert \}$ bzw. äquivalent dazu $w(T)\le \Vert T\Vert$. Hierbei bezeichnet $\Vert T\Vert$ die Operatornorm von $T$.
• Der numerische Wertebereich von $T$ ist konvex. (Satz von Toeplitz-Hausdorff)
• Das Spektrum $\sigma (T)$ liegt im Abschluss von $W(T)$: $\sigma (T)\subseteq \overline{W(T)}$. Ist $H$ endlich-dimensional, gilt sogar $\sigma (T)\subseteq W(T)$.
• Jedes $\lambda \in W(T)$, für das $|\lambda |=\Vert T\Vert$ gilt, ist ein Eigenwert von $T$.

Anwendungen

Der rechte reelle Achsenabschnitt des numerischen Wertebereichs ist die logarithmische Norm, bei einer Matrix $A$ ist dies

$\mu (A)=\max \{x^{*}Ax:x^{*}x=1\}.$

Mit ihr kann eine Schranke für die Spektralnorm des Matrixexponentials angegeben werden, es gilt

$\Vert e^{tA}{\Vert }_2\le e^{t\mu (A)},t\ge 0.$

Denn $y(t)=e^{tA}{y}_0$ löst das Anfangswertproblem $y^{\prime }(t)=Ay(t),y(0)=y_0$. Dann gilt für die Euklidnorm $N(t)=\Vert y(t){\Vert }^2$, dass ihre Ableitung die Ungleichung $N^{\prime }(t)=2y(t{)}^{*}{y}^{\prime }(t)=2y(t{)}^{*}Ay(t)\le 2\mu (A)y(t{)}^{*}y(t)=\mu (A)N(t)$ erfüllt, woraus $N(t)\le e^{2t\mu (A)}N(0)$ folgt. Dies entspricht der Schranke für das Matrixexponential.

Literatur

• E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II, Springer, 1991.