Morrie’s Law

Morrie's law (dt. Gesetz von Morrie) ist eine spezielle trigonometrische Identität. Ihr Name geht auf den Physiker Richard Feynman zurück, der sie so bezeichnete, weil er sie während seiner Kindheit von einem Jungen namens Morrie Jacobs gezeigt bekommen hatte.

Identität und Verallgemeinerung

Morrie’s law lautet:

$\cos (20^{\circ })\cdot \cos (40^{\circ })\cdot \cos (80^{\circ })=\frac{1}{8}.$

Sie ist ein Spezialfall der folgenden allgemeineren trigonometrischen Identität:

$2^n\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{\sin (\alpha )}.$

Für $n=3$ und $\alpha =20^{\circ }$ erhält man dann Morrie’s law, wenn man beachtet, dass

$\frac{\sin (160^{\circ })}{\sin (20^{\circ })}=\frac{\sin (180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin (20^{\circ })}=1$

gilt, wegen

$\sin (180^{\circ }-x)=\sin (x).$

Weitere ähnliche Identitäten

Es existiert eine ähnliche Identität für die Sinusfunktion:

$\sin (20^{\circ })\cdot \sin (40^{\circ })\cdot \sin (80^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

Eine entsprechende Identität für die Tangensfunktion erhält man, wenn man die beiden vorherigen Identitäten durcheinander teilt:

$\tan (20^{\circ })\cdot \tan (40^{\circ })\cdot \tan (80^{\circ })=\sqrt{3}=\tan (60^{\circ }).$

Beweise

Geometrischer Beweis

Reguläres Neuneck $ABCDEFGHI$ mit $O$ als Mittelpunkt seines Umkreises. Für die Winkel gilt:
$\begin{array}{cc}40^{\circ }& =\frac{360^{\circ }}{9}\\ 70^{\circ }& =\frac{180^{\circ }-40^{\circ }}{2}\\ \alpha & =180^{\circ }-90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\\ \beta & =180^{\circ }-90^{\circ }-(70^{\circ }-\alpha )=40^{\circ }\\ \gamma & =140^{\circ }-\beta -\alpha =80^{\circ }\end{array}$

Man betrachtet ein reguläres Neuneck $ABCDEFGHI$ mit Seitenlänge $1$, weiterhin bezeichnet $M$ den Mittelpunkt von $AB$, $L$ den Mittelpunkt von $BF$ und $J$ den Mittelpunkt von $BD$. Die Innenwinkel des Neunecks betragen $140^{\circ }$, zudem gilt $\gamma =\mathrm{\angle }FBM=80^{\circ }$, $\beta =\mathrm{\angle }DBF=40^{\circ }$ and $\alpha =\mathrm{\angle }CBD=20^{\circ }$ (siehe Zeichnung). Nun wendet man die Definition des Kosinus im rechtwinkligen Dreieck nacheinander auf die Dreiecke $\mathrm{△}BFM$, $\mathrm{△}BDL$ und $\mathrm{△}BCJ$ an und erhält so einen Beweis der Identität:

$\begin{array}{cc}1& =|AB|\\ & =2\cdot |MB|\\ & =2\cdot |BF|\cdot \cos (\gamma )\\ & =2^2|BL|\cos (\gamma )\\ & =2^2\cdot |BD|\cdot \cos (\gamma )\cdot \cos (\beta )\\ & =2^3\cdot |BJ|\cdot \cos (\gamma )\cdot \cos (\beta )\\ & =2^3\cdot |BC|\cdot \cos (\gamma )\cdot \cos (\beta )\cdot \cos (\alpha )\\ & =2^3\cdot 1\cdot \cos (\gamma )\cdot \cos (\beta )\cdot \cos (\alpha )\\ & =8\cdot \cos (80^{\circ })\cdot \cos (40^{\circ })\cdot \cos (20^{\circ })\end{array}$

Algebraischer Beweis der allgemeinen Identität

Es gilt die folgende Formel für Winkelverdoppelung der Sinusfunktion:

$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha ).$

Aufgelöst nach $\cos (\alpha )$ erhält man:

$\cos (\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}.$

Entsprechend folgt:

$\begin{array}{cc}\cos (2\alpha )& =\frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\\ \cos (4\alpha )& =\frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\\ & ⋮\\ \cos (2^{n-1}\alpha )& =\frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.\end{array}$

Multipliziert man nun alle rechten und alle linken Seiten miteinander, so erhält man:

$\cos (\alpha )\cos (2\alpha )\cos (4\alpha )\cdots \cos (2^{n-1}\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}\cdot \frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\cdot \frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\cdots \frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.$

Bei der rechten Seite handelt es sich um ein Teleskopprodukt, das heißt bis auf den letzten Sinusterm im Zähler und den ersten Sinusterm im Nenner kürzen sich alle Sinusterme weg und man erhält so die zu beweisende Gleichung

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{2^n\sin (\alpha )}.$

Literatur

• Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020, ISBN 978-0-19-254546-6, S. 79–83
• Ernest C. Anderson: Morrie's Law and Experimental Mathematics. In: Journal of recreational mathematics, 1998

Weblinks

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