Methode von Laplace

Die Methode von Laplace ist eine Technik, um Laplace-Integrale asymptotisch zu approximieren, das heißt Integrale der Form

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t$

näherungsweise zu lösen. Dabei können $a$ und $b$ auch als $\mathrm{\infty }$ gewählt werden.

Je größer $n$ ist, desto besser funktioniert die Approximation. Ein Spezialfall dieser Integrale ist die Laplace-Transformation. Die Methode ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt, der sie im Jahre 1774 publizierte.

Eine Verallgemeinerung der Methode auf den komplexen Raum ist die Methode des steilsten Anstiegs (Vorlage:EnS).

Aussage

Sei $g\in C^2([a,b])$ und es existiere ein striktes Minimum $t_0\in (a,b)$ (somit $g^{\prime }(t_0)=0$ und $g^{″}(t_0)>0$). Weiter gelte $f(t_0)\ne 0$. Dann gilt

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t}{e^{-ng(t_0)}f(t_0)\sqrt{\frac{2\pi }{n{g}^{″}(t_0)}}}=1$

oder in der Sprache der asymptotischen Analysis

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t\sim e^{-ng(t_0)}f(t_0)\sqrt{\frac{2\pi }{n{g}^{″}(t_0)}},\text{wenn }n\to \mathrm{\infty }$.

Herleitung

Die zugrundeliegende Idee ist folgende:

Der größte Beitrag zum Wert des Integrals stammt von den Punkten in der Umgebung $U_{\epsilon }(t_0)$.

Wir nehmen an, dass $n$ sehr groß ist, und schreiben das Integral um:

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t& =e^{-ng(t_0)}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-n[g(t)-g(t_0)]}\mathrm{d}t\\ & \approx e^{-ng(t_0)}f(t_0)\underset{t_0-\epsilon }{\overset{t_0+\epsilon }{\int }}{e}^{-n[g(t)-g(t_0)]}\mathrm{d}t\end{array}$

Nun bildet man für $g$ die Taylorentwicklung um den Punkt $t_0$.

$g(t)=g(t_0)+g^{\prime }(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2+𝒪((t-t_0{)}^3)$

Somit können wir die Approximation machen

$\begin{array}{cc}g(t)-g(t_0)& \approx g^{\prime }(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2\\ & =\frac{1}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2\end{array}$

Daraus folgt

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t\approx e^{-ng(t_0)}f(t_0)\underset{t_0-\epsilon }{\overset{t_0+\epsilon }{\int }}{e}^{-\frac{n}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2}\mathrm{d}t$

Nun können wir das Ganze auf ein Gaußsches Integral auf $[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ überführen, da die Werte sich exponentiell von $t_0$ entfernen.

$\begin{array}{cc}{e}^{-ng(t_0)}f(t_0)\underset{t_0-\epsilon }{\overset{t_0+\epsilon }{\int }}{e}^{-\frac{n}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2}& \approx f(t_0)e^{-ng(t_0)}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{n}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2}\mathrm{d}t\\ & =f(t_0)e^{-ng(t_0)}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{n}{2}{g}^{″}(t_0)s^2}\mathrm{d}s\\ & =f(t_0)e^{-ng(t_0)}\sqrt{\frac{2\pi }{n{g}^{″}(t_0)}}\\ \end{array}$