Mehrfach orthogonale Polynome

Mehrfach orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome in einer Variable, welche das Orthogonalitätskriterium bezüglich einer endlichen Familie von Maßen ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_r$ erfüllen. Sie sind nicht zu verwechseln mit den orthogonalen Polynomen in mehreren Variablen, den multivariablen orthogonalen Polynomen. Die Polynome werden in zwei Klassen unterteilt, genannt Typ 1 und Typ 2.

In der Literatur existieren weitere Namen für die mehrfach orthogonalen Polynome, sie werden u. a. auch als $d$-orthogonale Polynome, Hermite-Padé-Polynome oder polyorthogonale Polynome bezeichnet.

Mehrfach orthogonale Polynome

Gegeben sei ein Multiindex $\overrightarrow{n}=(n_1,\dots ,n_r)\in {\mathbb{N}}^r$ und $r$ positive Maße ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_r$ über den reellen Zahlen. Wie üblich ist $|\overrightarrow{n}|=n_1+n_2+\cdots +n_r$.

MOP vom Typ 1

Die Polynome vom Typ 1 werden als $A_{\overrightarrow{n},j}$ für $j=1,2,\dots ,r$ notiert und als Vektor zusammengefasst $(A_{\overrightarrow{n},1},A_{\overrightarrow{n},2},\dots ,A_{\overrightarrow{n},r})$, wobei das $j$-te Polynom $A_{\overrightarrow{n},j}$ höchstens vom Grad $n_j-1$ sein kann. Weiter soll gelten

$\sum _{j=1}^r\underset{ℝ}{\int }{x}^k{A}_{\overrightarrow{n},j}d{\mu }_j(x)=0,k=0,1,2,\dots ,|\overrightarrow{n}|-2,$

sowie

$\sum _{j=1}^r\underset{ℝ}{\int }{x}^{|\overrightarrow{n}|-1}{A}_{\overrightarrow{n},j}d{\mu }_j(x)=1.$

Erläuterungen

Wir haben also ein System von $|\overrightarrow{n}|$ Gleichungen für die $|\overrightarrow{n}|$ Koeffizienten der Polynome $A_{\overrightarrow{n},1},A_{\overrightarrow{n},2},\dots ,A_{\overrightarrow{n},r}$ definiert.

MOP vom Typ 2

Ein Polynom $P_{\overrightarrow{n}}(x)$ ist vom Typ 2, wenn es monisch ist und vom Grad $|\overrightarrow{n}|$ sowie folgendes Orthogonalitätskriterium erfüllt ist:

$\underset{ℝ}{\int }{P}_{\overrightarrow{n}}(x)x^{k}d{\mu }_j(x)=0,k=0,1,2,\dots ,n_j-1,j=1,\dots ,r.$

Erläuterungen

Schreiben wir $j=1,\dots ,r$ aus, erhalten wir folgende Definition der MOP vom Typ 2

$\underset{ℝ}{\int }{P}_{\overrightarrow{n}}(x)x^{k}d{\mu }_1(x)=0,k=0,1,2,\dots ,n_1-1$

$\underset{ℝ}{\int }{P}_{\overrightarrow{n}}(x)x^{k}d{\mu }_2(x)=0,k=0,1,2,\dots ,n_2-1$

$⋮$

$\underset{ℝ}{\int }{P}_{\overrightarrow{n}}(x)x^{k}d{\mu }_r(x)=0,k=0,1,2,\dots ,n_r-1$

Literatur

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