Mehrdimensionaler zentraler Grenzwertsatz

Der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz, auch zentraler Grenzwertsatz in ${ℝ}^d$ oder multivariater zentraler Grenzwertsatz genannt, ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er gehört zu den zentralen Grenzwertsätzen, verallgemeinert den zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy auf höhere Dimensionen und beschäftigt sich mit der Konvergenz in Verteilung von reskalierten Summen von Zufallsvektoren gegen die mehrdimensionale Normalverteilung.

Aussage

Gegeben sei eine Folge $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von unabhängig identisch verteilten Zufallsvektoren in ${ℝ}^d$ mit dem Nullvektor $\mathrm{𝟎}$ als Erwartungswertvektor und positiv definiter Kovarianzmatrix $C\in {ℝ}^{d\times d}$.

Dann konvergiert die Folge der reskalierten Summen

$S_n:=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i$

in Verteilung gegen einen Zufallsvektor $X$, der $d$-dimensional normalverteilt mit Erwartungswertvektor $\mathrm{𝟎}$ und Kovarianzmatrix $C$ ist.

Beweisskizze

Eine Möglichkeit des Beweises reduziert den $d$-dimensionalen Fall auf den eindimensionalen Fall. Für beliebiges $t\in {ℝ}^d$ sei

$X_n^t:=⟨t;X_n⟩$.

Dabei bezeichnet $⟨\cdot ;\cdot ⟩$ das Standardskalarprodukt. Dann ist

$\mathrm{E}(X_n^t)=0$ und $\mathrm{Var}(X_n^t)=⟨t;Ct⟩$.

Also konvergiert für alle $t\in {ℝ}^d$ nach dem zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy die Folge $X_n^t$ gegen einen reelle Zufallsvariable $X^t$, die normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz $⟨t;Ct⟩$ ist. Nach dem Satz von Cramér-Wold ist dies äquivalent zur Konvergenz in Verteilung der Folge von Zufallsvektoren.

Dass die Folge von Vektoren gegen die mehrdimensionale Normalverteilung konvergiert, folgt aus der Tatsache, dass ein Zufallsvektor $X$ genau dann mehrdimensional normalverteilt ist, wenn die $X^t=⟨t;X⟩$ für alle $t\in {ℝ}^d$ eindimensional normalverteilt sind (mit passendem Erwartungswert und passender Varianz).

Weblinks

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Literatur

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