Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

Die Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung ist eine Ungleichung aus dem Bereich der Stochastik. Sie ist eine Verallgemeinerung der Tschebyscheff-Ungleichung und nach dem Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt.

Eindimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

Die (eindimensionale) Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, dass für eine reelle Zufallsvariable $X$ mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz ${\sigma }^2$ die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert außerhalb des Intervalls $(\mu -k\sigma ,\mu +k\sigma )$ annimmt, höchstens gleich $1/k^2$ ist, d. h.

$1-P(\mu -k\sigma \le X\le \mu +k\sigma )\le \frac{1}{k^2}\text{für alle}k>0.$

Z. B. ergibt sich für $k=2$

$1-P(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma )\le \frac{1}{4},$

d. h. außerhalb des $2\sigma$-Intervalls um dem Erwartungswert $\mu$ liegt höchstens die Wahrscheinlichkeit 1/4. Bei einer Zufallsstichprobe sind höchstens 25 % der Werte von $X$ außerhalb des Intervalls zu erwarten.

Mehrdimensionale Verallgemeinerung

$𝐗$ sei ein $d$-dimensionaler Zufallsvektor mit Erwartungswertvektor $\mathit{\mu }$ und invertierbarer Kovarianzmatrix $\mathrm{\Sigma }$. Dann hat die reelle Zufallsvariable $Y=(𝐗-\mathit{\mu }{)}^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(𝐗-\mathit{\mu })$ den Erwartungswert $d$ und mit der Markow-Ungleichung folgt

$1-P(Y<k^2)=P(Y\ge k^2)\le \frac{d}{k^2}\text{für alle }k>0$.

Damit gilt für den Zufallsvektor $𝐗$ die Ungleichung

$P((𝐗-\mathit{\mu }{)}^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(𝐗-\mathit{\mu })\ge k^2)\le \frac{d}{k^2}\text{für alle }k>0$.

Diese Ungleichung ergibt sich als Spezialfall einer Ungleichung für quadratische Formen von Zufallsvariablen. Die Ungleichung wurde bereits 1962 von Samuel Stanley Wilks angegeben.

Die Menge

$\{𝐱\in {ℝ}^d\mid (𝐱-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(𝐱-\mathit{\mu })\le k^2\}$

ist ein Ellipsoid mit Mittelpunktvektor $\mathit{\mu }$. Die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung besagt somit für $d=2$, dass außerhalb einer Konzentrationsellipse mit $k=2$ höchstens 50 % der Stichproben-Tupel liegen. Das ist (wie im Eindimensionalen) eine grobe Abschätzung.

Beachte, dass die quadratische Form ${𝐱}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}𝐱=k^2$ den Rand der Streuregion einer zentrierten $d$-dimensionalen Normalverteilung ${𝒩}_d(\mathrm{𝟎},\mathrm{\Sigma })$ mit invertierbarer Kovarianzmatrix $\mathrm{\Sigma }$ beschreibt. Siehe auch Streuregionen der mehrdimensionalen Normalverteilung und Quadratische Formen von Zufallsvariablen.

Literatur

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