Max-stabile Prozesse

Vorlage:LückenhaftMax-stabile Prozesse erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie hin zum unendlichdimensionalen Fall. Ähnlich zum ein- und mehrdimensionalen Fall, tritt ein solcher Prozess als Grenzwert der Maxima von angemessen normalisierten unabhängigen Kopien eines stochastischen Prozesses auf.

Definition

Sei $T$ eine beliebige Indexmenge. Ein stochastischer Prozess $X$ heißt max-stabil, falls es Normalisierungskonstanten $a_n(t)>0,b_n(t)\in ℝ$ gibt, sodass für unabhängige Kopien $X_1,\dots ,X_n$ des Prozesses $X$ gilt

$(\frac{{\max }_{i=1}^n{X}_i(t)-b_n(t)}{a_n(t)},t\in T)\stackrel{d}{=}(X(t),t\in T)$.

Die eindimensionalen Randverteilungen eines max-stabilen Prozesses sind durch eine der drei univariaten Extremwertverteilungen gegeben. Im Falle von Fréchet-verteilten Rändern d. h. $\mathbb{P}(X(t)\le x)=e^{-1/x}$ können die Normalisierungskonstanten wie folgt gewählt werden: $a_n=n,b_n=0$.

Allgemeines

Seien $Y_i,i=1,\dots ,n$ unabhängige Kopien des stochastischen Prozesses $Y$. Gibt es nun Normalisierungskonstanten $c_n(t)>0,d_n(t)\in ℝ$, sodass gilt ${\max }_{i=1}^n\frac{Y_i(t)-d_n(t)}{c_n(t)}\to X(t)$ für $n\to \mathrm{\infty }$ und $t\in T$ und der Prozess $X$ ist nicht degeneriert, so ist $X$ ein max-stabiler Prozess. Ein max-stabiler Prozess mit einfachen Fréchet-verteilten Rändern kann mithilfe seiner Spektraldarstellung konstruiert werden.