Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz

In der Mathematik, genauer in der Gruppenkohomologie, in der homologischen Algebra und in der Zahlentheorie, ist die Lyndon-Spektralsequenz oder Hochschild-Serre-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung der Kohomologie einer Gruppe mithilfe der Kohomologie einer normalen Untergruppe und der zugehörigen Quotientengruppe. Die Spektralsequenz ist eine Anwendung der Grothendieck-Spektralsequenz und wurde benannt nach Roger Lyndon, Gerhard Hochschild und Jean-Pierre Serre.

Aussage

Es sei $G$ eine Gruppe, $N$ eine normale Untergruppe, und es sei A ein $G$-Modul. Dann gibt es eine kohomologische Spektralsequenz

$E_2=H^p(G/N,H^q(N,A))⟹H^{p+q}(G,A)$

und eine homologische Spektralsequenz

$E^2=H_p(G/N,H_q(N,A))⟹H_{p+q}(G,A)$,

wobei die Pfeile "$⟹$" Konvergenz von Spektralsequenzen meinen.

Fünfterm exakte Sequenz

Die zugehörige Fünfterm exakte Sequenz lautet

$0\to H^1(G/N,A^N)\to H^1(G,A)\to H^1(N,A{)}^{G/N}\to H^2(G/N,A^N)\to H^2(G,A).$

Beispiel

Sei $G$ die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus ganzen Zahlen, d. h.

$G=\{\left(\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right):a,b,c\in \mathbb{Z}\}$.

Dann ist $G$ eine zentrale Erweiterung $0\to \mathbb{Z}\to G\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to 0$ der Gruppe $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$, mit Zentrum $\mathbb{Z}$ zugehörig zur Untergruppe mit a=c=0. Mithilfe der Spektralsequenz kann die Homologie berechnet werden:

$H_i(G,\mathbb{Z})=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& i=0,3\\ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}& i=1,2\\ 0& i>3.\end{array}$

Literatur

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