Longchamps-Punkt

Der Longchamps-Punkt (Punkt von De Longchamps), benannt nach dem französischen Mathematiker Gohierre de Longchamps (1842–1906), gehört zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks. Er ist definiert als der Spiegelpunkt (L) des Höhenschnittpunkts (H) am Umkreismittelpunkt (U).^[1]

Eigenschaften

Der Longchamps-Punkt liegt auf der eulerschen Geraden.^[2]
Der Longchamps-Punkt liegt mit dem Gergonne-Punkt und dem Inkreismittelpunkt auf einer Geraden, nämlich der Soddy-Geraden.^[3]

Die trilinearen Koordinaten des Longchamps-Punkts ( $X_{20}$ ) sind

(\cos α - \cos β \cos γ) : (\cos β - \cos γ \cos α) : (\cos γ - \cos α \cos β) .

^[2]

(\tan β + \tan γ - \tan α) : (\tan γ + \tan α - \tan β) : (\tan α + \tan β - \tan γ)

oder

f (a, b, c) : f (b, c, a) : f (c, a, b)

mit

f (a, b, c) = 2 a^{2} (b^{2} + c^{2}) + (b^{2} - c^{2})^{2} - 3 a^{4} .

^[2]

Dabei sind $a, b, c$ die Seitenlängen des Dreiecks und $α, β, γ$ die Größen der Innenwinkel.

A. Vandeghen: Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle. The American Mathematical Monthly, Band 71, Nr. 2 (Feb., 1964), S. 176–179 (Vorlage:JSTOR)