Lojasiewicz-Ungleichung

Die Łojasiewicz-Ungleichung (in deutschsprachiger Literatur meist: Lojasiewicz-Ungleichung; nach Stanisław Łojasiewicz) ist eine Ungleichung der mathematischen Analysis, die vor allem in der reellen algebraischen Geometrie Anwendung findet.

Anschaulich besagt sie, dass für eine analytische Funktion $f$ der Abstand eines Punktes $x$ von der Nullstellenmenge $f^{-1}(0)$ der Funktion $f$ in Abhängigkeit vom Funktionswert $f(x)$ in diesem Punkt abgeschätzt werden kann. Diese Interpretation ist allerdings mit Vorsicht zu betrachten, weil die in der Ungleichung vorkommenden Konstanten von der Funktion $f$ abhängen und es je nach Wahl einer Funktion $f$ natürlich auch in größerer Entfernung von der Nullstellenmenge kleine Funktionswerte geben kann.

Allgemeine Formulierung

Sei $K\subset {ℝ}^n$ kompakt und seien $f,g:K\to ℝ$ (auf einer offenen Umgebung von $K$ definierte) analytische Funktionen mit $f^{-1}(0)\subset g^{-1}(0)$. Dann gibt es Konstanten $c,\alpha >0$, so dass für alle $x\in K$ die Ungleichung

$|f(x)|\ge c|g(x){|}^{\alpha }$

gilt.

Abstand zur Nullstellenmenge

Die allgemeine Formulierung lässt sich insbesondere auf $g(x)=d(x,f^{-1}(0))$ anwenden, denn für diese Funktion ist $g^{-1}(0)=f^{-1}(0)$. Man erhält das folgende Korollar.

Für jede auf einer offenen Umgebung einer kompakten Menge $K\subset {ℝ}^n$ analytische Funktion $f:K\to ℝ$ gibt es Konstanten $c,\alpha >0$, so dass für alle $x\in K$ die Ungleichung

$|f(x)|\ge cd(x,f^{-1}(0){)}^{\alpha }$

gilt.

Literatur

• Edward Bierstone, Pierre Milman: Semianalytic and subanalytic sets. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 67 (1988), 5–42.