Logit

Grafische Darstellung der Logit-Funktion logit(p) im Definitionsbereich von 0 bis 1, wobei die Basis des Logarithmus e ist.

Ein Logit ist in der Statistik der natürliche Logarithmus einer Chance, d. h. der Wahrscheinlichkeit $p$ geteilt durch die Gegenwahrscheinlichkeit $1-p$. Unter der Logit-Transformation versteht man die Transformation von Wahrscheinlichkeiten in Logits. Diese wird in der logistischen Regression zur Spezifikation der Kopplungsfunktion verwendet.

Definition

Ein Logit ist der natürliche Logarithmus einer Chance (Wahrscheinlichkeit $p$ durch Gegenwahrscheinlichkeit $1-p$, engl. odds) für eine Wahrscheinlichkeit $0<p<1$, d. h.

$\mathrm{logit}(p):=\ln \left(\frac{p}{1-p}\right)=\ln (\mathrm{odds}(p)).$

Die Funktion $\mathrm{logit}:(0,1)\to ℝ$ heißt Logit-Funktion. Wenn Wahrscheinlichkeiten $p\in (0,1)$ in $\mathrm{logit}(p)\in ℝ$ transformiert werden, spricht man auch von einer Logit-Transformation.

Eigenschaften

• Die Logit-Funktion kann auch mit dem Areatangens Hyperbolicus dargestellt werden,

$\mathrm{logit}(p)=2\mathrm{artanh}(2p-1),0<p<1.$

• Es gilt

$\mathrm{logit}(p)\{\begin{array}{cc}<0& \text{für }p<1/2\\ =0& \text{für }p=1/2\\ >0& \text{für }p>1/2\end{array}.$

• Die Logit-Funktion besitzt die Symmetrieeigenschaft

$\mathrm{logit}(1-p)=-\mathrm{logit}(p)\text{für alle }0<p<1$

• Die Logit-Funktion ist differenzierbar und hat die Ableitungsfunktion

${\mathrm{logit}}^{\prime }(p)=\frac{1}{p(1-p)}>0\text{für alle }0<p<1.$

• Die Logit-Funktion ist invertierbar. Die Umkehrfunktion der Logit-Funktion ist die logistische Funktion (manchmal auch Expit oder Sigmoid genannt):

$F_{\text{logistisch}}(x):={\mathrm{logit}}^{-1}(x)=\frac{e^x}{1+e^x}=\frac{1}{1+e^{-x}},x\in ℝ$.

Siehe auch

• Probit

Anwendung

Die Logit-Funktion kann zur Linearisierung von sigmoiden Kurven verwendet werden und hat daher eine große Bedeutung für die Auswertung von ELISA-Kurven in der Biochemie erlangt. Vorlage:Siehe auch

Die Logit-Transformation ist von zentraler Bedeutung für die logistische Regression.

Weblinks

• Which Link Function — Logit, Probit, or Cloglog? 12.04.2023