Liste von Darstellungen für die Riemannsche Zeta-Funktion

Die folgende Liste enthält verschiedene Ausdrücke für die Riemannsche Zeta-Funktion.

Reihendarstellungen

Erwähnenswert ist der Reihenausdruck

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\zeta (s+n)-1)\frac{s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}$,

der für alle Werte $s\ne 1,0,-1,\dots$ definiert ist. Interessant daran ist, dass sich damit die Zeta-Funktion rekursiv auf die ganze Zahlenebene fortsetzen lässt, da für die Berechnung von $\zeta (s)$ lediglich die Werte $\zeta (s+1),\zeta (s+2),\dots$ benötigt werden.

Von Helmut Hasse stammt die global konvergente Reihe

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{(-1{)}^{k-1}}{(k+1{)}^{s-1}}.$

Blagouchine gab 2018 zahlreiche Variationen und Verallgemeinerungen solcher Reihentypen.

Integraldarstellungen

Es gilt für $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>1$:

$\zeta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x,$

$\zeta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^x{x}^s}{(e^x-1{)}^2}\mathrm{d}x,$

$\zeta (s)=\frac{1}{2(1-2^{-s})\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{\sinh (x)}\mathrm{d}x,$

$\zeta (s)=\frac{2^{s-1}}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^s}{\sinh (x{)}^2}\mathrm{d}x.$

Für $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>0$ mit $s=1$ gilt

$\zeta (s)=\frac{{\mathrm{Li}}_s(-1)}{2^{1-s}-1}=\frac{1}{(1-2^{1-s})\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x+1}\mathrm{d}x,$

$\zeta (s)=\frac{1}{(1-2^{1-s})\mathrm{\Gamma }(s+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^x{x}^s}{(e^x+1{)}^2}\mathrm{d}x.$

Ein exotischer und global konvergenter Ausdruck ergibt sich, wenn man direkt die elementare Reihendarstellung der Zeta-Funktion in die Abel-Plana-Summenformel einsetzt:

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan t)}{(1+t^2{)}^{\frac{s}{2}}({\mathrm{e}}^{2\pi t}-1)}\mathrm{d}t$.

Ganz ähnlich dazu gilt beispielsweise

$\zeta (s)=2^{s-2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\tan \left(\frac{\pi }{2}\mathrm{i}t\right)}{{(1+\mathrm{i}t)}^s}\mathrm{d}t$,

wobei allerdings das Integral einschränkend nur für $\mathrm{Re}(s)>1$ konvergiert.

Eine Übersicht zu zahlreichen weiteren Integraldarstellungen stammt von Michael S. Milgram.

Summenformeln

Zur Herleitung einer global gültigen Summenformel ist bei der Mellin-Transformation zu beachten, dass der Integrand neben der Kernfunktion $t^{s-2}$ eine um $t=0$ analytische Funktion ist:

$\frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}=\sum _{\nu =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{\nu }}{\nu !}{t}^{\nu }.$

Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen der Zeta-Funktion und den Bernoulli-Zahlen $B_{\nu }$. Durch sukzessives Abspalten der Taylor-Polynome von $t/({\mathrm{e}}^t-1)$ im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta-Funktion auf ganz $ℂ\setminus \{1,0,-1,\dots \}$ fortgesetzt werden:

$\zeta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2s}+\sum _{\nu =2}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{\nu }}{\nu !}\frac{1}{s+\nu -1}+\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x).$

Dabei wird ausgenutzt, dass $1/\mathrm{\Gamma }(s)$ eine ganze Funktion ist.

Beziehungen zu speziellen Funktionen

Es gilt

$\zeta (s)=\frac{\eta (s)}{1-2^{1-s}}=\frac{\lambda (s)}{1-2^{-s}}$

wobei $\eta (s)$ und $\lambda (s)$ die Dirichletsche Eta- bzw. Lambda-Funktion bezeichnet.

Werte der Riemannschen Zeta-Funktion tauchen auch als Funktionswerte der Polygammafunktion auf. Erwähnenswert ist in diesem Kontext eine Schar von Formeln, die für jedes natürliche $n>1$ gegeben sind durch

$\zeta (s)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1-s)}{n^s\log n}(\sum _{k=1}^{n-1}{\psi }_{s-1}\left(\frac{k}{n}\right)-(n^s-1){\psi }_{s-1}(1)).$