Lipschitz-Gebiet

In der Mathematik ist ein Lipschitz-Gebiet – oder auch Gebiet mit Lipschitz-Rand genannt – ein Gebiet im euklidischen Raum, dessen Rand in dem Sinne „ausreichend regulär“ ist, dass dieser lokal der Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion ist. Anwendung finden Lipschitz-Gebiete in der Theorie partieller Differentialgleichungen. Der Begriff ist nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz benannt.

Die hier beschriebenen Gebiete werden auch als starke Lipschitz-Gebiete bezeichnet, um eine Verwechselung mit den schwachen Lipschitz-Gebieten zu verhindern, die eine allgemeinere Klasse von Gebieten darstellen.

Definition

Ein Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ des euklidischen Raums heißt (starkes) Lipschitz-Gebiet, falls sowohl positive Zahlen $\delta$ und $M$ existieren, als auch es eine lokal endliche Überdeckung $(U_i{)}_i$ des Randes $\partial \mathrm{\Omega }$ gibt, so dass für jedes $U_i$ eine reellwertige Funktion $f_i$ von $n-1$ Variablen existiert, so dass die folgenden Bedingungen gelten:

1. Für eine Zahl $R$ hat jede Teilfamilie von $(U_i{)}_i$ mit $R+1$ Elementen die leere Menge als gemeinsame Schnittmenge.

2. Für jedes Paar an Punkten $x,y\in {\mathrm{\Omega }}_{\delta }:=\{a\in \mathrm{\Omega }:\mathrm{dist}(a,\partial \mathrm{\Omega })<\delta \}$ mit $|x-y|<\delta$ existiert ein $i$, so dass

$x,y\in V:=\{a\in U_i:\mathrm{dist}(a,\partial U_i)>\delta \}$

gilt.

3. Jede Funktion $f_i$ erfüllt eine Lipschitz-Bedingung

$|f_i({\xi }_{i,1},\dots ,{\xi }_{i,n-1})-f_i({\nu }_{i,1},\dots ,{\nu }_{i,n-1})|<M|{\xi }_{i,1}-{\nu }_{i,1},\dots ,{\xi }_{i,n-1}-{\nu }_{i,n-1}|$

mit der Lipschitz-Konstanten $M$.

4. Für ein kartesisches Koordinatensystem $({\xi }_{i,1},\dots ,{\xi }_{i,n-1})$ in $U_j$ ist die Menge $\mathrm{\Omega }\cap U_i$ beschrieben durch

${\xi }_{i,n}<f_i({\xi }_{i,1},\dots ,{\xi }_{i,n-1})$.

Beschränkte Lipschitz-Gebiete

Falls $\mathrm{\Omega }$ ein beschränktes Gebiet ist, dann vereinfacht sich obige Definition zu einer einzigen Bedingung. Das beschränkte Gebiet $\mathrm{\Omega }$ ist genau dann ein Lipschitz-Gebiet, falls der Rand lokal ein Lipschitz-Rand ist. Das bedeutet, dass für jeden Randpunkt $x\in \partial \mathrm{\Omega }$ eine Umgebung $U_i$ existiert, so dass die Menge $\partial \mathrm{\Omega }\cap U_i$ der Graph einer lipschitzstetigen Funktion ist.

Eigenschaften

• Jedes $C^k$-Gebiet mit $k\ge 1$ ist auch ein Lipschitz-Gebiet.
• Nach dem Satz von Rademacher können an einem Lipschitz-Rand fast überall Tangentialvektoren gefunden werden.

Beispiele

• Die offene Kreisfläche ist ein $C^{\mathrm{\infty }}$-Gebiet und damit auch ein Lipschitz-Gebiet.
• Die Fläche eines offenen Rechtecks ist ein Lipschitz-Gebiet, aber kein $C^1$-Gebiet.
• Geschlitzte Flächen, wie zum Beispiel die geschlitzte Kreisfläche

$\mathrm{\Omega }:=\{x\in {ℝ}^d:|x-x_0|<R,x\ne x_0+\lambda e_1\text{for}0\le \lambda <R\}$,

wobei $e_1$ ein Basisvektor der kanonischen Basis des ${ℝ}^d$ ist, sind keine Lipschitz-Gebiete.

Theorie partieller Differentialgleichungen

In der Theorie der Sobolev-Räume tritt der Begriff des Lipschitz-Gebietes auf. So fordern beispielsweise einige Varianten des Einbettungssatzes von Sobolev, dass die untersuchten Gebiete Lipschitz-Gebiete sind. Somit sind auch viele Definitionsbereiche Lipschitz-Gebiete, die im Kontext gewisser partieller Differentialgleichungen und Variationsproblemen untersucht werden.