Lemma von Kakutani

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Das Lemma von Kakutani ist mathematischer Lehrsatz, der sowohl dem Gebiet der Konvexgeometrie als auch dem der Funktionalanalysis zugerechnet werden kann. Es geht auf eine Arbeit des japanischen Mathematikers Shizuo Kakutani aus dem Jahr 1937 zurück und behandelt eine Eigenschaft konvexer Mengen in reellen Vektorräumen.[1][2][3]

Formulierung des Lemmas

Das Lemma lässt sich formulieren wie folgt:[1][2]

Gegeben seien ein reeller Vektorraum X und darin zwei disjunkte konvexe Teilmengen C1,C2⊂X sowie ein außerhalb dieser beiden Mengen gelegener Punkt x∈X∖(C1∪C2).
Γi⊂X(i=1,2) sei jeweils die konvexe Hülle von {x}∪Ci.
Dann gilt:
Mindestens eine der beiden Schnittmengen Γ1∩C2,Γ2∩C1 ist die leere Menge.

Folgerung: Ein Satz von Marshall Harvey Stone

Aus dem Lemma von Kakutani lässt sich mit Hilfe des Zornschen Lemmas ein Satz von Marshall Harvey Stone folgern, den Frederick A. Valentine in seinem Lehrbuch Konvexe Mengen als grundlegend bezeichnet.[4] Dieser Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:[2][5]

In jedem reellen Vektorraum X existiert zu je zwei disjunkten nichtleeren konvexen Teilmengen C1,C2⊂X stets eine Zerlegung Z1∪˙Z2=X mit umfassenden konvexen Teilmengen Zi⊃Ci(i=1,2) .

Hinsichtlich der Namensgebung ist anzumerken, dass Kelley/Namioka den genannten Satz als Satz von Stone (Vorlage:EnS) bezeichnen,[2] während aus der Darstellung von Valentine eher zu entnehmen ist, dass der Satz in gleichem Maße Kakutani zuzuweisen ist und vermutlich auch von anderen Mathematikern gezeigt wurde. Bemerkenswert an der Darstellung von Valentine ist der Umstand, dass er das Lemma von Kakutani implizit beim Beweis benutzt, jedoch nicht explizit als solches nennt.[3]

Bezug zum Trennungssatz von Eidelheit

Von Gottfried Köthe wird der Satz von Stone als Trennungssatz genannt, denn er steht in direkter Beziehung zum Trennungssatz von Eidelheit (Vorlage:EnS), welcher seinerseits hinführt zur Geometrischen Form des Satzes von Hahn-Banach. Der eidelheitsche Trennungssatz gab Shizuo Kakutani den Anlass zu seiner Arbeit von 1937.[6][7][8]

Der Trennungssatz von Eidelheit lässt sich konvexgeometrisch angeben wie folgt:[9][10][11][8]

Es sei X ein reeller topologischer Vektorraum und darin enthalten seien zwei nichtleere konvexe Teilmengen C1,C2⊂X.
C1 besitze innere Punkte, von denen jedoch keiner zugleich ein Punkt von C2 sei.
Dann gilt:
(1) Es gibt innerhalb X eine C1 und C2 trennende abgeschlossene reelle Hyperebene H⊂X derart, dass keiner der inneren Punkte von C1 zugleich ein Punkt von H ist.
(2) Sind hierbei sogar sowohl C1 als auch C2 offene Teilmengen von X, so liegen sie in verschiedenen offenen Halbräumen und werden in diesem Sinne durch H voneinander strikt getrennt.

Bei Valentine ist sogar ein noch allgemeinere Version des Trennungssatzes zu finden.[12]

Literatur

Einzelnachweise

  1. ↑ 1,0 1,1 Marcel Berger: Geometry I. 1987, S. 384.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 John L. Kelley, Isaac Namioka: Linear Topological Spaces. 1976, S. 17.
  3. ↑ 3,0 3,1 Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 29–30.
  4. ↑ Valentine, op. cit., S. 29.
  5. ↑ Valentine, op. cit., S. 30.
  6. ↑ Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume I. 1966, S. 189 ff.
  7. ↑ Nicolas Bourbaki: Topological Vector Spaces. 1998, II.36 ff
  8. ↑ 8,0 8,1 Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. 1998, S. 179.
  9. ↑ Shizuo Kakutani: Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit über konvexe Mengen. In: Proc. Imp. Acad. 13, S. 93.
  10. ↑ Köthe, op. cit, S. 191.
  11. ↑ Bourbaki, op. cit., II.37
  12. ↑ Valentine, op. cit., S. 34.
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