Lelong-Zahl

Lelong-Zahlen sind Invarianten für komplexe Mannigfaltigkeiten sowie Verallgemeinerungen mit Singularitäten. Sie sagt etwas über die lokale Dichte in einem Punkt. Lelong-Zahlen sind das analytische Analogon zur Multiplizität der Algebra und wurden 1957 von Pierre Lelong für Ströme eingeführt.

Besonders wichtig sind die Lelong-Zahlen für sogenannte plurisubharmonische Funktionen $\phi$, indem man als Strom $\mathrm{\Theta }=\frac{i}{\pi }\partial \bar{\partial }\phi$ setzt, also die Krümmung der zu $\phi$ gehörenden singulären Metrik $h=e^{-2\phi }$ betrachtet.

Definition

Sei $\mathrm{\Theta }$ ein geschlossener, positiver Strom mit bidimension $(p,p)$ auf einer Koordinatenumgebung $\mathrm{\Omega }={ℂ}^n$. Wir definieren das Funktional

${\sigma }_{\mathrm{\Theta }}=\mathrm{\Theta }\wedge \frac{1}{p!}(\frac{\pi }{i}\partial \bar{\partial }|z{|}^2{)}^p$

wobei $\wedge$ das Minimum bezeichnet.

Dann definiert man die Lelong-Zahl von $\mathrm{\Theta }$ im Punkt $x\in \mathrm{\Omega }$ als den Wert

$\nu (\mathrm{\Theta },x):=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\nu (\mathrm{\Theta },x,r):=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\sigma }_{\mathrm{\Theta }}(B(x,r))}{{\pi }^p{r}^{2p}/p!}$.

Mit $E_c(\mathrm{\Theta }):=\{x\in X\mid \nu (\mathrm{\Theta },x)\ge c\}$ bezeichnet man die Niveaumenge von $\mathrm{\Theta }$ zum Niveau $c\in [0,\mathrm{\infty }]$.

Wichtige Sätze

Satz von Lelong

1. Sei $\mathrm{\Theta }$ ein positiver Strom. Dann ist $r\mapsto \nu (\mathrm{\Theta },x,r)$ eine nichtnegative wachsende Funktion, insbesondere existiert der Grenzwert für $r\to 0^{+}$.
2. Ist $\mathrm{\Theta }=\frac{i}{\pi }\partial \bar{\partial }\phi$ der zu einer plurisubharmonischen Funktion $\phi$ gehörende $(1,1)$-Strom, dann ist $\nu (\mathrm{\Theta },x)=\sup \{\gamma \ge 0\mid \phi (z)\le \gamma \log |z-x|+O(1)\}$.
3. Ist $\phi =\log |f|$ für ein $f\in H^0(X,{𝒪}_X)$ und $\mathrm{\Theta }=\frac{i}{\pi }\partial \bar{\partial }\phi =[Z_f]$, dann gilt $\nu ([Z_f],x)={\mathrm{ord}}_x(f)=\max \{m\in \mathbb{N}\mid D^{\alpha }f(x)=0,|\alpha |<m\}.$

Ist $h=e^{-2\phi }$ eine singuläre Metrik für eine plurisubharmonische Funktion $\phi$, dann schreiben wir auch $\nu (h,x):=\nu (\phi ,x):=\nu (\frac{i}{\pi }\partial \bar{\partial }\phi ,x)$. Außerdem folgt aus dem obigen Satz, dass

$\underset{z\to x}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\varphi (z)}{\log |z-x|}.$

Satz von Thie

Sei $A$ eine analytische Untervarietät von $X$. Dann stimmt die Lelong-Zahl $\nu ([A],x)$ des Integrationscurrent $[A]$ mit der Multiplizität von $A$ in $x$ überein.

Satz von Siu

Sei $\mathrm{\Theta }$ ein geschlossener, positiver Strom der Bidimension $(p,p)$ auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $X$. Dann gilt:

1. Die Lelong-Zahl $\nu (\mathrm{\Theta },x)$ ist invariant unter holomorphem Koordinatenwechsel.
2. Die Menge $E_c(\mathrm{\Theta })$ ist eine abgeschlossene analytische Teilmenge von $X$, deren Dimension kleiner als oder gleich $p$ ist.

Literatur

• P. Lelong: Intégration sur un ensemble analytique complexe, Bull. Soc. Math France 85 (1957), 239–262.
• P. Thie: The Lelong number of a point of a complex analytic set, Math. Ann. 172 (1967), 269–312.
• Y.-T. Siu: Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents, Invent. Math. 27 (1974), 53–156.
• H. Aust: Einbettung von quasi-projektiven Mannigfaltigkeiten und effektive Resultate, (2009), 9–10.