Laplace-Formel

Pierre-Simon Laplace (Gemälde aus dem 19. Jahrhundert)

Die Laplace-Formel ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Elementarereignisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A$:

$P(A)=\frac{\text{Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis }A\text{ eintritt}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

oder formeller

$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\mathrm{\Omega }\right|}$,

wenn $|A|$ und $|\mathrm{\Omega }|$ die Anzahl der Elemente des Ereignisses $A$ bzw. der Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }$ bezeichnen.

Benannt ist die Formel nach dem französischen Mathematiker und Astronomen Pierre Simon Laplace (1749–1827).

Beispiele und Gegenbeispiele

Rouletterad

Urnenmodell

Spielwürfel

Roulette

Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette-Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewährleistet sein, dass die Roulette-Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt. Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{37}$ ausgespielt.

Ziehen aus einer Urne

Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer Urne mit $n$ gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{n}$ gezogen.

Doppelwurf eines Spielwürfels

Beim zweimaligen Werfen eines Spielwürfels gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen

$\mathrm{\Omega }=\{(i,j)\mid i,j=1,\dots ,6\}$.

Gleichwahrscheinliche Ereignisse

Ist der Spielwürfel ein Laplace-Würfel, so beträgt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9, nämlich bei (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), wobei alle Würfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind. Deshalb ist

$P(A)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$, die Augensumme 9 zu erhalten.

Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse

Auch wenn es sich bei dem Spielwürfel um einen Laplace-Würfel handelt, sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Darüber hinaus ist es bei diesem Experiment unmöglich, gleichwahrscheinliche Augensummen durch Würfelmanipulation zu erreichen.Vorlage:Klappbox

Geschlecht eines neugeborenen Kindes

Statistisch ist nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind, wenn auch in vielen stochastischen Aufgabenstellungen Gleichwahrscheinlichkeit angenommen wird.

Siehe auch

• Gleichverteilung
• Indifferenzprinzip

Literatur

• Vorlage:Literatur