Langevin-Funktion

Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion $L(x)$ (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Definition

Die Langevin-Funktion ist definiert durch

$L(x)=\coth (x)-\frac{1}{x}$,

wobei $\coth$ den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.

Eine Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter $\xi$ eingeführt:

$\xi =\frac{mB}{k_{\mathrm{B}}T}$

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

• $m$: Magnetisches Moment eines Teilchens
• $B$: Betrag der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
• $k_{\mathrm{B}}$: Boltzmann-Konstante
• $T$: Absolute Temperatur

Für die Magnetisierung $M$ eines Paramagneten ergibt sich dann:

$M=NmL(\xi )$

$N$ steht dabei für die Stoffmenge und $m$ für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

Reihenentwicklungen

Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

$L(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2x}{{\pi }^2{n}^2+x^2}$

Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+1}=\frac{\pi L(\pi )}{2}$

Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:

$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\pi L(\pi x)}{2x}=\frac{{\pi }^2}{6}$

Dieser Wert ist beim sogenannten Basler Problem die Lösung.

Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:

$L(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}2(-1{)}^{n+1}{\pi }^{-2n}\zeta (2n)x^{2n-1}=\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3+\frac{2}{945}{x}^5-\frac{1}{4725}{x}^7+\cdots$

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

$L(x{)}^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(4n+6)(-1{)}^{n+1}{\pi }^{-2n-2}\zeta (2n+2)x^{2n}=\frac{1}{9}{x}^2-\frac{2}{135}{x}^4+\frac{1}{525}{x}^6-\frac{2}{8505}{x}^8+\cdots$

Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.

Eine Näherung der Langevin-Funktion für $|x|\ll 1$ ist

$L(x)=\coth (x)-\frac{1}{x}\approx \frac{x}{3}$.

Für $x\gg 1$ gilt die Näherung

$L(x)\approx 1-\frac{1}{x}$.

Umkehrfunktion

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Die invertierte Langevin-Funktion wird mit einer Minus-Eins von Spitzklammern umkleidet in Exponentenstellung hinter dem L dargestellt. Diese Umkehrfunktion ist ähnlich wie die Lambertsche W-Funktion nicht elementar darstellbar.

Eine verbreitete Näherung, die im Intervall $(-1,1)$ gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:

$L^{⟨-1⟩}(x)\approx x\frac{3-x^2}{1-x^2}$

Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um $|x|=0,8$. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben.

Die Maclaurinsche Reihe der invertierten Langevin-Funktion lautet wie folgt und hat den Konvergenzradius 1:

$L^{⟨-1⟩}(x)\approx 3x+\frac{9}{5}{x}^3+\frac{297}{175}{x}^5+\frac{1539}{875}{x}^7+\cdots$

Siehe auch

• Langevin-Gleichung
• Brillouin-Funktion