Maclaurinsche Reihe

Die maclaurinsche Reihe (nach Colin Maclaurin) ist in der Analysis eine Bezeichnung für den Spezialfall einer Taylor-Reihe mit Entwicklungsstelle $x_0=0$:

$Tf(x;0)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(j)}(0)}{j!}{x}^j=f(0)+f^{\prime }(0)\cdot x+\frac{1}{2!}{f}^{″}(0)\cdot x^2+\cdots .$

Das Betrachten nur endlich vieler Glieder der obigen Reihe liefert die maclaurinsche Formel als Spezialfall der Taylor-Formel:

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)\cdot x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$

mit dem Restglied

$R_n(x)=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\theta x)0<\theta <1$

oder alternativ

$R_n(x)=\frac{1}{n!}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t.$

Die Konvergenz der Maclaurinschen Reihe kann durch Untersuchung des Restgliedes $R_n$ oder durch Bestimmung des Konvergenzradius nachgewiesen werden. Im letzteren Falle kann es jedoch vorkommen, dass die Reihe zwar konvergiert, ihre Summe aber ungleich $f(x)$ ist. Ein Beispiel für solch einen Fall ist die Funktion $f(x)=\exp (-1/x^2)$ mit der Bedingung $f(0)=0$: die Glieder ihrer Maclaurinschen Reihe sind alle 0, allerdings ist $f(x)=0$ für $x=0.$

Für Funktionen, die bei $x=0$ nicht definiert sind – z. B. $f(x)=\frac{1}{x}$, oder die bei $x=0$ zwar definiert, aber nicht beliebig oft differenzierbar sind – z. B. $f(x)=x\sqrt{x}$, lässt sich ebenfalls keine maclaurinsche Reihe entwickeln.

Beispiele

Elementare Beispiele

• Sinus

$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots =x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\dots$

• Exponentialfunktion

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots =1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^4+\dots$

• Areatangens Hyperbolicus

$\text{artanh}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{x}^{2n+1}$

• Arkussinus

$\arcsin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$

• Exponentiell erzeugende Funktion der Bellschen Zahlen:

$\exp [\exp (x)-1]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{x}^n$

Nicht elementare Beispiele

• Besselsche Funktionen

${\mathrm{I}}_0(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{4^n(n!{)}^2}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2\cosh (xy)}{\pi \sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y$

${\mathrm{J}}_0(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{4^n(n!{)}^2}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2\cos (xy)}{\pi \sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y$

• Legendresche Chifunktion

${\chi }_2(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^2}{x}^{2n+1}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arcsin (xy)}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y$

• Vollständiges elliptisches Integral erster Art:

$\frac{2}{\pi }K(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{[(2n)!{]}^2}{16^n(n!{)}^4}{x}^{2n}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2}{\pi \sqrt{(1-x^2{y}^2)(1-y^2)}}\mathrm{d}y$

• Erzeugende Funktion der regulären Partitionszahlenfolge P(n):

${\vartheta }_{00}(x{)}^{-1/6}{\vartheta }_{01}(x{)}^{-2/3}[\frac{{\vartheta }_{00}(x{)}^4-{\vartheta }_{01}(x{)}^4}{16x}{]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}P(n)x^n$

• Erzeugende Funktion der strikten Partitionszahlenfolge Q(n):

${\vartheta }_{00}(x{)}^{1/6}{\vartheta }_{01}(x{)}^{-1/3}[\frac{{\vartheta }_{00}(x{)}^4-{\vartheta }_{01}(x{)}^4}{16x}{]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}Q(n)x^n$

Mit dem Buchstaben ϑ werden die sogenannten Theta-Nullwertfunktionen ausgedrückt.

Umwandlung beliebiger Taylorreihen in Maclaurin-Reihen

Jede Taylorreihe, auch solche mit Entwicklungsstelle $x_0\ne 0$, kann als Maclaurin-Reihe aufgefasst werden. Dazu wird statt der Taylorreihe zu $f(x)$ die Taylorreihe zu $f(x_0+x)$ betrachtet (Substitution):

$f(x_0+x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}[(x_0+x)-x_0{]}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{x}^n.$

Durch die Verschiebung um $-x_0$ „zur Seite“ ist die neue Entwicklungsstelle gerade 0, wodurch es sich bei der neuen Taylorreihe um eine Maclaurin-Reihe handelt.

Beispiel: Die Taylorreihe zur natürlichen Logarithmusfunktion $\ln (x)$ um die Entwicklungsstelle 1, nämlich

$\ln (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}(x-1{)}^n,$

entspricht der Maclaurin-Reihe zu $\ln (x+1).$

$\ln (x+1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots .$