Lévy-Verteilung

Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts.

Definition

Lévy-Dichtefunktionen verschiedener Skalierung und μ=0

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

$f(x)=\sqrt{\frac{\gamma }{2\pi }}\cdot \frac{1}{(x-\mu {)}^{3/2}}\cdot \exp (-\frac{\gamma }{2(x-\mu )}),x>\mu$., mit den beiden Parametern $\gamma >0,\mu \in ℝ$.

• $\mu$ ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der $x$-Achse;
• $\gamma$ ist ein Skalenparameter (Stauchung für $\gamma <1$; Streckung für $\gamma >1$).

Standard-Lévy-Verteilung

Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten $\gamma =1,\mu =0$; ihre Dichtefunktion lautet damit:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot x^3}}\cdot e^{-\frac{1}{2x}},x>0$.

Eigenschaften

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:

$(X_1+X_2+\cdots +X_n)\sim n^{1/\alpha }X$

(hier mit $\alpha =1/2$) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen $X_1,X_2,\dots ,X_n,X$. Da die Theorie der $\alpha$-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Momente

Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt $\mathrm{E}(|X|)=\mathrm{\infty }$. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Anwendung

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:

• Verlauf von Börsenkursen
• Umpolung des Erdmagnetfeldes
• Intervalle zwischen aufeinander folgenden Tönen in Melodien
• Pfade von Wildtieren bei der Futtersuche
• Teilchenbewegungen in turbulenten Strömungen