Alpha-stabile Verteilungen

Dichtefunktionen einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind $X_1,X_2,\dots ,X_n,X$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt für die Summe

$X_1+X_2+\cdots +X_n\sim c_{n}X$ für alle $n\in \mathbb{N}$ und eine Folge $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$,

so nennt man $X$ stabil verteilt, wobei $\sim$ als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl $c_n=n^{1/\alpha },\alpha \in (0,2]$ ist. Die reelle Zahl $\alpha$ nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes $\alpha$ des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

• Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter $\alpha =2$, denn bekanntlich gilt

$X_1,X_2,\dots ,X_n\sim 𝒩(0,{\sigma }^2)\Rightarrow \sum _{i=1}^n{X}_i\sim 𝒩(0,n{\sigma }^2)\sim n^{1/2}𝒩(0,{\sigma }^2)$. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter $\alpha =2$.

• Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung

$X_1,X_2,\dots ,X_n\sim \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}(0,a)\Rightarrow \sum _{i=1}^n{X}_i\sim n\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}(0,a)$

sie ist also stabil mit Formparameter $\alpha =1$.

• Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit $\alpha =\frac{1}{2}$.

Eigenschaften

Dichtefunktionen α-stabiler Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters $\beta$ und Parameterwerte $\alpha =0.5$, $c=1$ und $\mu =0$

• Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist durch

${\psi }_{\alpha ,\beta ,c,\mu }(t)=\{\begin{array}{cc}\exp (i\mu t-c|t{|}^{\alpha }(1-i\beta \tan \left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)\mathrm{sgn}(t)))& \text{für }\alpha \in (0,1)\cup (1,2]\\ \exp (i\mu t-c|t|(1+i\beta \frac{2}{\pi }\ln (|t|)\mathrm{sgn}(t)))& \text{für }\alpha =1\end{array}$

gegeben Der Parameter $\alpha \in (0,2]$ heißt charakteristischer Exponent. Der Parameter $\beta \in [-1,1]$ heißt Schiefeparameter. Der Parameter $c$ ist positiv. Der Parameter $\mu \in ℝ$ ist ein Lageparameter.

• Endliche Varianz existiert nur für $\alpha =2$. Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz. Für $\alpha =2$ spezialisiert sich die charakteristische Funktion zu $\exp (i\mu t-c{t}^2)$; dies ist charakteristische Funktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $2c$.
• Für $1<\alpha \le 2$ hat die Verteilung den Erwartungswert $\mu$, für $\alpha \le 1$ existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
• Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Analoge Konzepte für diskrete Verteilungen

Für diskrete Verteilungen gibt es den Begriff der diskret-stabilen Verteilung, ein Beispiel einer solchen Verteilung ist die Poisson-Verteilung, welche bei diskret-stabilen Verteilungen einen ähnlichen Stellenwert einnimmt, wie die Normalverteilung bei Lévy-stabilen kontinuierlichen Dichten.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.