Kugelkondensator

Unter einem Kugelkondensator oder sphärischen Kondensator versteht man einen elektrischen Kondensator, der aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.

Kugelkondensator mit den Radien $R_1$ und $R_2$

Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien $R_1$ und $R_2$ gilt

$C=4\pi \epsilon \frac{R_2{R}_1}{R_2-R_1}$, mit $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$

ε₀ ist hierbei die elektrische Feldkonstante. ε_r ist die Dielektrizitätszahl, welche im Vakuum gleich 1 ist.

Herleitung der Formel für die Kapazität

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R₁ und R₂ gilt für das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

$\mathrm{d}\frac{1}{C}=\frac{1}{\epsilon }\cdot \frac{\mathrm{d}r}{A(r)}=\frac{1}{\epsilon }\cdot \frac{\mathrm{d}r}{4\pi r^2}$

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

$\frac{1}{C}=\underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}\frac{1}{\epsilon }\cdot \frac{\mathrm{d}r}{4\pi r^2}=\frac{1}{4\pi \epsilon }\cdot (\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition $C=\frac{Q}{U}$ nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Sonderfälle

Sehr kleiner Abstand

Wenn $d=R_2-R_1\ll R_1$, kann man angenähert $R_1=R_2=R$ setzen und erhält $C=4\pi \epsilon \frac{R^2}{d}$.

Sehr großer Abstand

Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Wenn $R_1\ll R_2$ ist, kann man angenähert $R_2-R_1=R_2$ setzen und erhält $C=4\pi \epsilon R_1$. Die Kapazität wird dann praktisch nur vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel (auch als Kugelelektrode bezeichnet), da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist ($R_2\to \mathrm{\infty }$ und somit $R_1\ll R_2$). Der Radius einer solchen Kugelelektrode im Vakuum diente früher als Maßeinheit der Kapazität mit folgender Äquivalenz:

$1\mathrm{c}\mathrm{m}\equiv 4\pi {\epsilon }_0\cdot 1\mathrm{c}\mathrm{m}\approx 1,11265\mathrm{p}\mathrm{F}$

Ladung und Ladungsdichte

Beim Kugelkondensator geht man davon aus, dass die beiden Elektroden mit der Ladung $Q$ und $-Q$ entgegengesetzt geladen sind. Diese Ladungen befinden sich als Flächenladungen auf den nach innen gewandten Kugelflächen. Dann lässt sich die Ladungsdichte schreiben als $\varrho (r)=\frac{Q}{4\pi R_1^2}\delta (r-R_1)-\frac{Q}{4\pi R_2^2}\delta (r-R_2)$ , wobei $\delta$ die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Elektrisches Feld

Der Vektor des elektrischen Feldes zwischen den zwei Kondensatorschalen besteht wegen der Kugelsymmetrie nur aus der radialen Komponente $E_r$. Diese lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

$E_r(r)=\frac{Q}{4\pi r^2\epsilon }$ wobei $R_1<r<R_2$

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand $r$ zum Mittelpunkt des Kondensators. Innerhalb der Elektroden und außerhalb des Kondensators ist kein elektrisches Feld vorhanden.

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential ist ein nur von $r$ abhängiges Skalarfeld und berechnet sich, bis auf eine additive Konstante, als $\phi (r)=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}{E}_r(r^{\prime })d{r}^{\prime }$. Dieses Integral kann abschnittsweise ermittelt werden:

• Für $r\ge R_2$ ist $\phi (r)=0$.
• Für $R_1<r<R_2$ ist $\phi (r)=-\underset{R_2}{\overset{r}{\int }}{E}_r(r^{\prime })d{r}^{\prime }=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2})$.
• Für $r\le R_1$ ist $\phi (r)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$.

Spannung zwischen innerer und äußerer Platte

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

$U=\phi (R_1)-\underset{=0}{\underbrace{\phi (R_2)}}=\underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}{E}_r(r)\mathrm{d}r=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$

Literatur

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