Kriterium von Kummer

Das Kriterium von Kummer (nach dem deutschen Mathematiker Ernst Eduard Kummer) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe (absolut) konvergiert.

Das Kummer-Kriterium beinhaltet zwei Aussagen, über Konvergenz und über Divergenz.

Formulierung

Sei $(c_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die Reihe $S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.

Konvergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge $({\alpha }_k)$, so dass ab einem bestimmten Index $\mu$ der Ausdruck

${\alpha }_{k-1}\frac{c_{k-1}}{c_k}-{\alpha }_k$

stets größer oder gleich einer positiven Konstante $\theta >0$ ist, dann konvergiert die Reihe $S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$.

Divergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge $({\alpha }_k)$, so dass

• die Reihe der reziproken Glieder $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\alpha }_k}$ divergiert und
• ab einem bestimmten Index $\mu$ der Ausdruck

${\alpha }_{k-1}\frac{c_{k-1}}{c_k}-{\alpha }_k$

stets kleiner gleich Null ist,

dann divergiert die Reihe $S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$.

Beweise

Beweis der Konvergenzaussage

Es gelte für alle Indizes $k>\mu$ die Abschätzung

$0<\theta \le {\alpha }_{k-1}\frac{c_{k-1}}{c_k}-{\alpha }_k$.

Nach dem Durchmultiplizieren mit $c_k$ ergibt sich daraus

$\theta c_k\le {\alpha }_{k-1}{c}_{k-1}-{\alpha }_k{c}_k$.

Diese Ungleichung lässt sich nun von $k=\mu +1$ bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl $n>\mu$ nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.

$\theta \sum _{k=\mu +1}^n{c}_k\le \sum _{k=\mu +1}^n({\alpha }_{k-1}{c}_{k-1}-{\alpha }_k{c}_k)={\alpha }_{\mu }{c}_{\mu }-{\alpha }_n{c}_n$

Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als ${\alpha }_{\mu }{c}_{\mu }$, diese Schranke hängt nicht von $n$ ab. Also gilt für alle $n>\mu$

$\sum _{k=\mu +1}^n{c}_k\le \frac{{\alpha }_{\mu }{c}_{\mu }}{\theta }$

Daher wächst die Folge der Partialsummen $S_n=\sum _{k=1}^n{c}_k$ ab dem Index $\mu$ monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit $S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$.

Beweis der Divergenzaussage

Es gelte für alle Indizes $k>\mu$ die Abschätzung

${\alpha }_{k-1}\frac{c_{k-1}}{c_k}-{\alpha }_k\le 0$ und damit auch ${\alpha }_k{c}_k\ge {\alpha }_{k-1}{c}_{k-1}$.

Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von $k=\mu +1$ bis zu einem beliebig großen Index $m>\mu$ ergibt sich

${\alpha }_m{c}_m\ge {\alpha }_{\mu }{c}_{\mu }$,

nach weiterem Umstellen

$c_m\ge \frac{{\alpha }_{\mu }}{{\alpha }_m}{c}_{\mu }$.

Wird diese Ungleichung von $m=\mu +1$ bis zu einem beliebig großen Index $n$ aufsummiert, so folgt

$\sum _{m=\mu +1}^n{c}_m\ge {\alpha }_{\mu }{c}_{\mu }\sum _{m=\mu +1}^n\frac{1}{{\alpha }_m}$

Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für $n\to \mathrm{\infty }$. Also divergiert auch $S=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_m$ nach dem Minorantenkriterium.