Kriterium von Dirichlet

Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.

Dirichlet-Kriterium für Konvergenz

Kriterium

Die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{b}_k$

mit $a_k\in ℝ,b_k\in ℂ$ konvergiert, wenn $(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ der Partialsummen

$B_n=\sum _{k=0}^n{b}_k$

beschränkt ist.

Beweis

Es gilt (siehe Partielle Summation)

$\sum _{k=0}^{n+1}{a}_k{b}_k=a_{n+1}{B}_{n+1}+\sum _{k=0}^n{B}_k(a_k-a_{k+1})$.

Der erste Summand konvergiert gegen null, da $B_n$ voraussetzungsgemäß durch eine Konstante $M$ beschränkt ist und $a_n$ gegen null konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn $a_k-a_{k+1}\ge 0$ für alle $k$ und damit

$\sum _{k=0}^n|B_k(a_k-a_{k+1})|\le \sum _{k=0}^{n}M(a_k-a_{k+1})=M(a_0-a_{n+1})\to M{a}_0$.

Damit ist alles gezeigt.

Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz

Die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(x)b_k(x)$

ist im Intervall $J$ gleichmäßig konvergent, wenn dort die Partialsummen der Reihe $\sum b_k(x)$ gleichmäßig beschränkt sind und wenn dort die Folge $(a_k(x))$ gleichmäßig gegen null konvergiert, und zwar für jedes feste $x$ monoton.

Siehe auch

• Kriterium von Abel
• Leibniz-Kriterium (behandelt den Spezialfall $b_k=(-1{)}^k$)