Kranzprodukt

Vorlage:Zeichen Das Kranzprodukt (engl. wreath product) ist ein Begriff aus der Gruppentheorie und bezeichnet ein spezielles semidirektes Produkt von Gruppen.

Definition

Sind $G$ und $J$ Gruppen und operiert $J$ auf einer Menge $Y$, so wird dadurch eine Operation von $J$ auf $G^Y$ (der Gruppe aller Abbildungen von $Y$ nach $G$ mit punktweiser Verknüpfung) induziert durch:

$\mathrm{\forall }j\in J,f\in G^Y:{(}^{j}f)(y)=f{(}^{j^{-1}}y)$

Jedes $j\in J$ definiert auf diese Weise einen Automorphismus von $G^Y$.

Somit kann das Kranzprodukt $G{\wr }_{Y}J$ als das semidirekte Produkt aus $G^Y$ und $J$ bezüglich ebendieser Operation definiert werden. Manchmal betrachtet man auch das eingeschränkte Kranzprodukt. Dieses erhält man, indem man statt der Gruppe aller Abbildungen von $Y$ nach $G$ nur die Untergruppe der Abbildungen betrachtet, die fast überall verschwinden.

Eigenschaften

Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten: $\left|G{\wr }_{Y}J\right|={\left|G\right|}^{\left|Y\right|}\cdot \left|J\right|$

Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt $G{\wr }_{J}J$ definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge $\{1,...,n\}$ festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.

Operationen

Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von $G{\wr }_{Y}J$ auf $X\times Y$ induziert:

$\mathrm{\forall }(x,y)\in X\times Y,(f,j)\in G{\wr }_{Y}J{:}^{(f,j)}(x,y):={(}^{f{(}^{j}y)}x{,}^{j}y)$

Diese Operation ist genau dann treu/transitiv, wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.

Gruppenerweiterungen

Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.

Gegeben ist also eine exakte Sequenz

$1⟶N{⟶}^{\iota }H{⟶}^{\pi }Q⟶1$

Außerdem sei eine Abbildung $q:H\to H$ gegeben, die $\mathrm{\forall }g\in H:q(g)\iota (N)=g\iota (N)$ erfüllt und jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zuordnet. Weiterhin muss gelten $\mathrm{\forall }g\in H:q(g^{-1})=q(g{)}^{-1}$. (Ist N unendlich, so ist eine solche Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)

Die Einbettung $\varphi :H\hookrightarrow N{\wr }_{Q}Q$ (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:

$\varphi (h):=({\sigma }_h,\pi (h))$

Hierbei ist ${\sigma }_h:Q\to N$ wie folgt definiert:

${\sigma }_h(yN):={\iota }^{-1}(q(y^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))$

Diese Einbettung geht zurück auf L. Kaloujnine und M. Krasner.

Beispiele

Die p-Sylow-Gruppen der symmetrischen Gruppe $S_n$ lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.

Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch $W_{p,0}:=\{1\}$ und $W_{p,n+1}:=W_{p,n}{\wr }_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Z}}_p$, wobei die Operation von $J={\mathbb{Z}}_p$ auf $Y={\mathbb{Z}}_p$ durch Linksmultiplikation gegeben ist.

Stellt man n zur Basis p dar, d. h. als Summe $\sum _{i=0}^k{c}_i{p}^i$ mit $c_i\in \{0,...,p-1\}$, so sind die p-Sylow-Gruppen von $S_n$ dann isomorph zu $\prod _{i=0}^k{W}_{p,i}^{c_i}$

Zum Symbol

Die senkrechte Tilde, die für das Kranzprodukt verwendet wird, befindet sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren auf Position U+2240, in TeX und LaTeX kann es mit \wreath bzw. \wr dargestellt werden.

Literatur

• Vorlage:Cite book