Kraftwinder/Kraftschraube

Als Kraftwinder $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)$ wird in der Technischen Mechanik die Zusammenfassung von Einzelkraft $\overrightarrow{F}$ und Moment ${\overrightarrow{M}}_O$ bezüglich eines Bezugspunkts $O\in {ℝ}^3$ bezeichnet. Im Allgemeinen sind $\overrightarrow{F}$ und ${\overrightarrow{M}}_O$ nicht parallel. Für die Wahl des Bezugspunkts $S\in {ℝ}^3$ mit $\overrightarrow{F}\parallel {\overrightarrow{M}}_S$ wird der Kraftwinder zur Kraftschraube $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_S)$.

Kraftwinder für den Bezugspunkt $O$ und äquivalente Kraftschraube für den Bezugspunkt $S$

Moment

• Das Moment ${\overrightarrow{M}}_O$ einer Einzelkraft ist ein gebundener Vektor und von der Wahl des Bezugspunktes $O$ abhängig.
• Das Moment ${\overrightarrow{M}}_O$ eines Kräftepaars ist ein freier Vektor und von der Wahl des Bezugspunktes $O$ unabhängig.

Moment einer Einzelkraft

Sei $O\in {ℝ}^3$ ein beliebig gewählter, fester Bezugspunkt. Der Punkt $P^{\prime }$ ist der Endpunkt des zugehörigen Ortsvektors ${\overrightarrow{r}}_{O{P}^{\prime }}$ und beschreibt die Gerade ${\mathrm{g}}_P$ der Wirkungslinie der Einzelkraft.

Mit Hilfe des Parameters ${\lambda }_P\in ℝ$ in Meter [m] wird die Gerade ${\mathrm{g}}_P$ wie folgt definiert:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{g}}_P:{\overrightarrow{r}}_{O{P}^{\prime }}& ={\overrightarrow{r}}_{OP}+{\lambda }_P{\overrightarrow{e}}_F\end{array}$

Das Moment ${\overrightarrow{M}}_O$ einer Einzelkraft $\overrightarrow{F}$ berechnet sich für Angriffspunkte $P^{\prime }\in {\mathrm{g}}_P$ wie folgt:

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{M}}_O& ={\overrightarrow{r}}_{O{P}^{\prime }}\times \overrightarrow{F}\\ & =({\overrightarrow{r}}_{OP}+{\lambda }_P{\overrightarrow{e}}_F)\times \overrightarrow{F}\\ & ={\overrightarrow{r}}_{OP}\times \overrightarrow{F}+{\lambda }_P\underset{=\overrightarrow{0}}{\underbrace{{\overrightarrow{e}}_F\times \overrightarrow{F}}}\\ \Rightarrow {\overrightarrow{M}}_O& ={\overrightarrow{r}}_{OP}\times \overrightarrow{F}\mathrm{\forall }{P}^{\prime }\in {\mathrm{g}}_P\end{array}$

Ergebnis: Zur Berechnung des Einzelkraft-Moments ist der Ortsvektor ${\overrightarrow{r}}_{OP}$ ausschlaggebend. Der Ortsvektor ${\overrightarrow{r}}_{OP}$ definiert den Angriffspunkt $P$ der Einzelkraft $\overrightarrow{F}$ bezogen auf den Bezugspunkt $O$. Neben Ortsvektor und Kraft ist auch das Einzelkraft-Moment ein gebundener Vektor und von der Wahl des Bezugspunktes $O$ abhängig.

Moment eines Kräftepaars

Sei $O\in {ℝ}^3$ ein beliebig gewählter, fester Bezugspunkt. Die Punkte $P^{\prime }$ und $Q^{\prime }$ sind die Endpunkte der zugehörigen Ortsvektoren ${\overrightarrow{r}}_{O{P}^{\prime }}$ und ${\overrightarrow{r}}_{O{Q}^{\prime }}$ und beschreiben die Geraden ${\mathrm{g}}_P$, ${\mathrm{g}}_Q$ der Wirkungslinien des Kräftepaars. Anfangspunkt $P$ und Endpunkt $Q$ definieren den senkrechten, minimalen Abstandsvektor ${\overrightarrow{r}}_{PQ}\perp \overrightarrow{F}$ zwischen den Parallelen.

Mit Hilfe der Parameter ${\lambda }_P,{\lambda }_Q\in ℝ$ in Meter [m] werden die beiden Geraden ${\mathrm{g}}_P$ und ${\mathrm{g}}_Q$ wie folgt definiert:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{g}}_P:{\overrightarrow{r}}_{O{P}^{\prime }}& ={\overrightarrow{r}}_{OP}+{\lambda }_P{\overrightarrow{e}}_{-F}\\ {\mathrm{g}}_Q:{\overrightarrow{r}}_{O{Q}^{\prime }}& ={\overrightarrow{r}}_{OQ}+{\lambda }_Q{\overrightarrow{e}}_F\text{mit}{\overrightarrow{r}}_{OQ}={\overrightarrow{r}}_{OP}+{\overrightarrow{r}}_{PQ}\end{array}$

Das Moment ${\overrightarrow{M}}_O$ eines Kräftepaars berechnet sich für Angriffspunkte $P^{\prime }\in {\mathrm{g}}_P$ und $Q^{\prime }\in {\mathrm{g}}_Q$ wie folgt:

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{M}}_O& ={\overrightarrow{r}}_{O{P}^{\prime }}\times (-\overrightarrow{F})+{\overrightarrow{r}}_{O{Q}^{\prime }}\times \overrightarrow{F}\\ & =({\overrightarrow{r}}_{OP}+{\lambda }_P{\overrightarrow{e}}_{-F})\times (-\overrightarrow{F})+({\overrightarrow{r}}_{OQ}+{\lambda }_Q{\overrightarrow{e}}_F)\times \overrightarrow{F}\\ & =({\overrightarrow{r}}_{OP}+{\lambda }_P{\overrightarrow{e}}_{-F})\times (-\overrightarrow{F})+({\overrightarrow{r}}_{OP}+{\overrightarrow{r}}_{PQ}+{\lambda }_Q{\overrightarrow{e}}_F)\times \overrightarrow{F}\\ & ={\overrightarrow{r}}_{OP}\times (-\overrightarrow{F})+{\lambda }_P\underset{=\overrightarrow{0}}{\underbrace{{\overrightarrow{e}}_{-F}\times (-\overrightarrow{F})}}+{\overrightarrow{r}}_{OP}\times \overrightarrow{F}+{\overrightarrow{r}}_{PQ}\times \overrightarrow{F}+{\lambda }_Q\underset{=\overrightarrow{0}}{\underbrace{{\overrightarrow{e}}_F\times \overrightarrow{F}}}\\ & =-{\overrightarrow{r}}_{OP}\times \overrightarrow{F}+{\overrightarrow{r}}_{OP}\times \overrightarrow{F}+{\overrightarrow{r}}_{PQ}\times \overrightarrow{F}\\ & \\ \Rightarrow {\overrightarrow{M}}_O& ={\overrightarrow{r}}_{PQ}\times \overrightarrow{F}\mathrm{\forall }O\in {ℝ}^3\end{array}$

Ergebnis: Ein Ortsvektor taucht in der Vektorgleichung nicht mehr auf. Zur Berechnung des Kräftepaar-Moments ist der Abstandsvektor ${\overrightarrow{r}}_{PQ}$ der Kräfte ausschlaggebend. Das Kräftepaar-Moment ist ein freier Vektor und von der Wahl des Bezugspunktes $O$ unabhängig.

Äquivalenzprinzip (Statik)

Zwei verschiedene Systeme gebundener Vektoren bzw. Kräftesysteme $({\overrightarrow{F}}_{A_i})$ und $({\overrightarrow{F}}_{B_j})$ mit $\sum {\overrightarrow{F}}_{A_i}=\sum {\overrightarrow{F}}_{B_j}$ sind äquivalent und damit statisch gleichwertig, wenn sich für beliebig gewählte, feste Bezugspunkte $O\in {ℝ}^3$ gleiche resultierende Momente ${\overrightarrow{M}}_O$ ergeben. Die Angriffspunkte der zugehörigen Kräfte ${\overrightarrow{F}}_{A_i}$ und ${\overrightarrow{F}}_{B_j}$ werden hierbei durch die Endpunkte der Ortsvektoren ${\overrightarrow{r}}_{O{A}_i}$ und ${\overrightarrow{r}}_{O{B}_j}$ festgelegt:

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{M}}_O=\sum _{i=1}^m{\overrightarrow{M}}_{O{A}_i}=\sum _{i=1}^m({\overrightarrow{r}}_{O{A}_i}\times {\overrightarrow{F}}_{A_i})& =\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{M}}_{O{B}_j}=\sum _{j=1}^n({\overrightarrow{r}}_{O{B}_j}\times {\overrightarrow{F}}_{B_j})\\ & \iff \\ ({\overrightarrow{F}}_{A_1},{\overrightarrow{F}}_{A_2},\dots ,{\overrightarrow{F}}_{A_m})& \sim ({\overrightarrow{F}}_{B_1},{\overrightarrow{F}}_{B_2},\dots ,{\overrightarrow{F}}_{B_n})\end{array}$

Kraftwinder

Für ein System von Kräften $({\overrightarrow{F}}_1,{\overrightarrow{F}}_2,\dots ,{\overrightarrow{F}}_n)$ kann zu jedem beliebig gewählten, festen Bezugspunkt $O\in {ℝ}^3$ ein äquivalenter Kraftwinder $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)$ gebildet werden. Die Reduktion aller (angreifenden) Kräfte führt auf eine resultierende Einzelkraft $\overrightarrow{F}$ und ein resultierendes Kräftepaar, das durch das Moment ${\overrightarrow{M}}_O$ gekennzeichnet ist.

Einzelkraft und Kräftepaar sind die elementaren Bausteine von Kräftesystemen. Bezogen auf den Punkt $O$ ist der Kraftwinder $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)$ die Zusammenfassung dieser resultierenden Eizelkraft $\overrightarrow{F}$ und des resultierenden Moments ${\overrightarrow{M}}_O$:

$({\overrightarrow{F}}_1,{\overrightarrow{F}}_2,\dots ,{\overrightarrow{F}}_n)\sim (\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)\text{mit}\overrightarrow{F}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i\text{und}{\overrightarrow{M}}_O=\sum _i({\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i).$

Die gesamte physikalische Wirkung der in ${\overrightarrow{r}}_i$ angreifenden Kräfte ${\overrightarrow{F}}_i$ bezüglich $O$ wird durch den Kraftwinder $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)$ gekennzeichnet.

Bezugspunktwechsel

Äquivalente Kraftwinder für die Bezugspunkte $O$ und $P$

Das Äquivalenzprinzip fordert, dass Kräftesysteme unabhängig vom gewählten Bezugspunkt statisch gleichwertig sein müssen. Somit darf ein Wechsel von $O\in {ℝ}^3$ nach $P\in {ℝ}^3$ die statische Wirkung des Kräftesystems nicht ändern.

Zur Erinnerung: Das Moment ${\overrightarrow{M}}_O$ eines Kräftepaares ist ein freier Vektor, die Kraft $\overrightarrow{F}$ ist ein gebundener Vektor. Eine äquivalente Umformung erlaubt daher, dass ${\overrightarrow{M}}_O$ beliebig und $\overrightarrow{F}$ nur entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden darf.

Wird dagegen die Kraft parallel zu ihrer Wirkungslinie nach $P$ verschoben, muss die Systemänderung, das zusätzlich entstehende Versatzmoment ${\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}={\overrightarrow{r}}_{OP}\times \overrightarrow{F}$, entsprechend korrigiert werden.

Seien $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)$ bzw. $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_P)$ äquivalente Kraftwinder für die Punkte $O$ bzw. $P$, dann gilt:

$\begin{array}{cc}(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)& \sim (\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_P)\mathrm{\forall }O,P\in {ℝ}^3\\ & \iff \\ {\overrightarrow{M}}_P& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}\\ {\overrightarrow{M}}_P& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{r}}_{OP}\times \overrightarrow{F}\end{array}$

Demnach resultiert ${\overrightarrow{M}}_P$ aus dem freien Moment ${\overrightarrow{M}}_O$, subtrahiert durch das Verzatzmoment ${\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}$ der Einzelkraft $\overrightarrow{F}$.

Kraftschraube

Es lassen sich stets Bezugspunkte $S^{\prime }\in {ℝ}^3$ finden, für die das Moment ${\overrightarrow{M}}_S$ dieselbe Richtung wie $\overrightarrow{F}$ hat. Einen derartigen Kraftwinder mit ${\overrightarrow{M}}_S\parallel \overrightarrow{F}$ nennt man Kraftschraube $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_S)$. Zu jedem beliebigen Kräftesystem gibt es eine äquivalente Kraftschraube.

Bei gegebenen Kraftwinder $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)$ werden zur Bestimmung von $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_S)$ folgende Annahmen bzw. Definitionen getroffen:

• Zerlegung von ${\overrightarrow{M}}_O={\overrightarrow{M}}_{\parallel }+{\overrightarrow{M}}_{\perp }$ in Komponenten parallel und senkrecht zur Kraft
• Definition eines kürzesten, senkrecht zur Kraft stehenden Ortsvektors ${\overrightarrow{r}}_{OS}\perp \overrightarrow{F}$
• Definition der Steigung der Schraube $p\in ℝ$ in Meter [m] wegen ${\overrightarrow{M}}_S\parallel \overrightarrow{F}$ mit dem Ansatz ${\overrightarrow{M}}_S=p\overrightarrow{F}$

Identitäten

Die Zerlegung von ${\overrightarrow{M}}_O$ in Komponenten parallel und senkrecht zur Kraft und Ausgehend vom Bezugspunktwechsel bezüglich $S$, liefert die Vektorgleichung, den Ansatz zur Bestimmung folgender Identitäten:

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{M}}_S& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}\\ {\overrightarrow{M}}_S& ={\overrightarrow{M}}_{\parallel }+\underset{=\overrightarrow{0}}{\underbrace{{\overrightarrow{M}}_{\perp }-{\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}}}\\ \Rightarrow {\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}& \equiv {\overrightarrow{M}}_{\perp }\text{und}{\overrightarrow{M}}_S\equiv {\overrightarrow{M}}_{\parallel }\end{array}$

1. Der senkrechte Anteil ${\overrightarrow{M}}_{\perp }$ von ${\overrightarrow{M}}_O$ ist identisch mit ${\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}$
2. Der parallele Anteil ${\overrightarrow{M}}_{\parallel }$ von ${\overrightarrow{M}}_O$ ist identisch mit ${\overrightarrow{M}}_S$

Rechtssystem

Die Definition eines kürzesten, senkrecht zur Kraft stehenden Ortsvektors ${\overrightarrow{r}}_{OS}\perp \overrightarrow{F}$ liefert die Voraussetzung, dass alle drei Vektoren ${\overrightarrow{r}}_{OS}$, $\overrightarrow{F}$ und ${\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}$ senkrecht aufeinander stehen. Die zugehörigen Einheitsvektoren ${\overrightarrow{e}}_{r_{OS}},{\overrightarrow{e}}_F$ und ${\overrightarrow{e}}_{M_{\mathrm{V}}}$ bilden ein Rechtssystem:

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{e}}_{r_{OS}}\times {\overrightarrow{e}}_F& ={\overrightarrow{e}}_{M_{\mathrm{V}}}\\ {\overrightarrow{e}}_F\times {\overrightarrow{e}}_{M_{\mathrm{V}}}& ={\overrightarrow{e}}_{r_{OS}}\\ {\overrightarrow{e}}_{M_{\mathrm{V}}}\times {\overrightarrow{e}}_{r_{OS}}& ={\overrightarrow{e}}_F\end{array}$

Herleitung

Die Definition der Schraubensteigung $p$ mit ${\overrightarrow{M}}_S=p\overrightarrow{F}$ liefert zusammen mit dem Rechtssystem und der Vektorgleichung zum Bezugspunktwechsel den Ansatz zur Herleitung der gesuchten Größen $p$ und ${\overrightarrow{r}}_{OS}$.

Steigung

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{M}}_S& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}\\ {\overrightarrow{M}}_S& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F}\\ p\overrightarrow{F}& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F}\\ p\overrightarrow{F}& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F}|\cdot \overrightarrow{F}\\ p\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{F}& ={\overrightarrow{M}}_O\cdot \overrightarrow{F}-\underset{=0}{\underbrace{({\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F})\cdot \overrightarrow{F}}}\\ p{F}^2& ={\overrightarrow{M}}_O\cdot \overrightarrow{F}\\ & \\ \Rightarrow p& =\frac{\overrightarrow{F}\cdot {\overrightarrow{M}}_O}{F^2}\end{array}$

Die Steigung der Kraftschraube $p\in ℝ$ ist ein skalarer Faktor und proportional zum Skalarprodukt $(\overrightarrow{F}\cdot {\overrightarrow{M}}_O)$.

Ortsvektor

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{M}}_S& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{M}}_{\mathrm{V}}\\ {\overrightarrow{M}}_S& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F}\\ p\overrightarrow{F}& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F}\\ p\overrightarrow{F}& ={\overrightarrow{M}}_O-{\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F}|\times \overrightarrow{F}\\ p\underset{=\overrightarrow{0}}{\underbrace{\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{F}}}& ={\overrightarrow{M}}_O\times \overrightarrow{F}-\underset{=-{\overrightarrow{r}}_{OS}{F}^2}{\underbrace{({\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F})\times \overrightarrow{F}}}\\ \overrightarrow{0}& ={\overrightarrow{M}}_O\times \overrightarrow{F}+{\overrightarrow{r}}_{OS}{F}^2\\ & \\ \Rightarrow {\overrightarrow{r}}_{OS}& =\frac{\overrightarrow{F}\times {\overrightarrow{M}}_O}{F^2}\end{array}$

Die Lage des Punktes $S\in {ℝ}^3$ wird durch den Ortsvektor ${\overrightarrow{r}}_{OS}$ bestimmt und ist proportional zum Vektorprodukt $(\overrightarrow{F}\times {\overrightarrow{M}}_O)$.

Doppeltes Vektorprodukt

Zur Bestimmung des Ortsvektors ${\overrightarrow{r}}_{OS}$ muss das doppelte Vektorprodukt $({\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F})\times \overrightarrow{F}$ ausgewertet werden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Beide Ansätze liefern das gleiche korrekte Ergebnis:

• Via Entwicklungssatz: $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})-\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})$

$\begin{array}{cc}({\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F})\times \overrightarrow{F}& =\overrightarrow{F}(\underset{=0}{\underbrace{\overrightarrow{F}\cdot {\overrightarrow{r}}_{OS}}})-{\overrightarrow{r}}_{OS}(\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{F})\\ & \\ \Rightarrow ({\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F})\times \overrightarrow{F}& =-{\overrightarrow{r}}_{OS}{F}^2\end{array}$

• Via Einheitsvektoren multipliziert mit den Beträgen: ${\overrightarrow{r}}_{OS}=r_{OS}\cdot {\overrightarrow{e}}_{r_{OS}}$ und $\overrightarrow{F}=F\cdot {\overrightarrow{e}}_F$

$\begin{array}{cc}({\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F})\times \overrightarrow{F}& =(r_{OS}{\overrightarrow{e}}_{r_{OS}}\times F{\overrightarrow{e}}_F)\times F{\overrightarrow{e}}_F\\ & =r_{OS}{F}^2(\underset{={\overrightarrow{e}}_{M_{\mathrm{V}}}}{\underbrace{{\overrightarrow{e}}_{r_{OS}}\times {\overrightarrow{e}}_F}})\times {\overrightarrow{e}}_F\\ & =r_{OS}{F}^2\underset{=-{\overrightarrow{e}}_{r_{OS}}}{\underbrace{{\overrightarrow{e}}_{M_{\mathrm{V}}}\times {\overrightarrow{e}}_F}}\\ & =-r_{OS}{F}^2{\overrightarrow{e}}_{r_{OS}}\\ & \\ \Rightarrow ({\overrightarrow{r}}_{OS}\times \overrightarrow{F})\times \overrightarrow{F}& =-{\overrightarrow{r}}_{OS}{F}^2\end{array}$

Zentralachse (Statik)

Die Vektorgleichung der Geraden mit ${\overrightarrow{M}}_S\parallel \overrightarrow{F}$ heißt Zentralachse ${\mathrm{g}}_S$ der Kraftschraube und hat folgende Eigenschaft:

$\mathrm{\forall }{S}^{\prime }\in {\mathrm{g}}_S\iff (\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_S)\equiv (\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_{S^{\prime }})$

Die Zentralachse ${\mathrm{g}}_S$ kann mit Hilfe des Parameters ${\lambda }_S\in ℝ$ in Meter [m] definiert werden:

${\mathrm{g}}_S:{\overrightarrow{r}}_{O{S}^{\prime }}={\overrightarrow{r}}_{OS}+{\lambda }_S{\overrightarrow{e}}_F$

Sonderfälle

• Der Kraftwinder $(\overrightarrow{F},\overrightarrow{0})$ wird zur Einzelkraft $\overrightarrow{F}$
• Der Kraftwinder $(\overrightarrow{0},{\overrightarrow{M}}_O)$ wird zum Kräftepaar ${\overrightarrow{M}}_O$
• Der Kraftwinder $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)$ mit $({\overrightarrow{M}}_O\equiv {\overrightarrow{M}}_S)\parallel \overrightarrow{F}$ wird zur Kraftschraube $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_S)$
• Der Kraftwinder $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)$ mit ${\overrightarrow{M}}_O\perp \overrightarrow{F}$ ist einer Einzelkraft $(\overrightarrow{F},\overrightarrow{0})$ äquivalent
• Der Nullwinder $(\overrightarrow{0},\overrightarrow{0})$ ist einem Nullsystem von Kräften bzw. einer Nullkraft äquivalent
• Der Kraftwinder eines (ebenen und räumlichen) zentralen Kräftesystems, mit gemeinsamen Schnittpunkt (Zentrum) aller Wirkungslinien, ist einer Einzelkraft äquivalent: $({\overrightarrow{F}}_1,{\overrightarrow{F}}_2,\dots ,{\overrightarrow{F}}_n)\sim (\overrightarrow{F},\overrightarrow{0})$
• Der Kraftwinder eines ebenen Kräftesystems, mit $(\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)\ne (\overrightarrow{0},\overrightarrow{0})$ hat die Eigenschaft ${\overrightarrow{M}}_O\perp \overrightarrow{F}$ und ist einer Einzelkraft äquivalent: $({\overrightarrow{F}}_1,{\overrightarrow{F}}_2,\dots ,{\overrightarrow{F}}_n)\sim (\overrightarrow{F},{\overrightarrow{M}}_O)\sim (\overrightarrow{F},\overrightarrow{0})$

Literatur

• K. Magnus / H.H. Müller: Grundlagen der Technischen Mechanik, 2. Auflage, Teubner Studienbücher, 1979, S. 25 - 43, ISBN 3-519-12324-X.
• W. Beitz, K.-H. Küttner (Hrsg.): Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau, 14. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1981, S. 118 - 120, ISBN 3-540-09422-9, ISBN 0-387-09422-9.