Hausdorff-Konvergenz

Hausdorff-Konvergenz ist ein Begriff aus der Mathematik, mit dem beschrieben wird, dass kompakte Teilmengen des ${ℝ}^n$ (oder eines allgemeinen metrischen Raumes) sich einer Grenzmenge annähern. Er wird in der fraktalen Geometrie zur Konstruktion von Fraktalen und in der Differentialgeometrie zum Führen von Widerspruchsbeweisen verwendet.

Allgemeiner gehalten ist der Begriff der Gromov-Hausdorff-Konvergenz, welcher Konvergenz von beliebigen Folgen kompakter metrischer Räume (nicht notwendig Teilmengen eines gegebenen Raumes) beschreibt.

Definition

Der Barnsley-Farn ergibt sich als Hausdorff-Grenzwert seiner endlichen Approximationen.

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $A_n\subset X$ eine Folge von kompakten Teilmengen. Die Folge $A_n$ konvergiert gegen die kompakte Menge $A$, wenn

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\delta (A_n,A)=0$

gilt. Hierbei bezeichnet $\delta$ den Hausdorff-Abstand.

Ausgeschrieben bedeutet diese Definition: $A_n$ konvergiert gegen $A$ wenn es für alle $ϵ>0$ ein $N\in \mathbb{N}$ gibt, so dass für alle $n>N$ gilt: $A$ liegt in der $ϵ$-Umgebung von $A_n$ und $A_n$ liegt in der $ϵ$-Umgebung von $A$.

Eigenschaften

Grenzwerte von Folgen konvexer Mengen im euklidischen Raum sind konvex, Grenzwerte von Folgen zusammenhängender Mengen sind zusammenhängend. Dagegen muss der Grenzwert einer Folge wegzusammenhängender Räume nicht immer wegzusammenhängend sein.

Zwei konvergente Folgen und ihre Grenzwerte.

Die Folge $A_n$ rechts im Bild ist eine Folge von Tori, welche gegen einen Kreis konvergiert. Der Grenzwert einer Folge homöomorpher Räume muss also nicht unbedingt homöomorph zu den einzelnen Folgengliedern sein, er kann sogar niedrigere Dimension haben.

Die Folge $B_n$ rechts im Bild ist eine Folge von Kurven der Länge $\sqrt{2}$, welche gegen eine Kurve der Länge $1$ konvergiert. Auch die Länge von Kurven ist also nicht stetig bezüglich Hausdorff-Konvergenz, sie ist jedoch unterhalbstetig. Höherdimensionale Volumina von Flächen, Körpern etc. sind im Allgemeinen weder unter- noch oberhalbstetig bezüglich Hausdorff-Konvergenz.

Kompaktheitssatz

Nach einem Satz von Blaschke gilt folgendes Kompaktheitskriterium für die Hausdorff-Konvergenz.

Sei $R>0$ beliebig, $B(x_0,R)\subset {ℝ}^d$ ein Ball vom Radius $R$, und $A_n\subset B(x_0,R)$ eine Folge kompakter Mengen, dann gibt es eine Hausdorff-konvergente Teilfolge.

Literatur

• “How Riemannian Manifolds Converge: a Survey” by Christina Sormani, Metric and Differential Geometry: The Jeff Cheeger Anniversary Volume, edited by X. Rong and X. Dai, Progress in Mathematics Vol 297, 27pp. pdf