Komplex-hyperbolischer Raum

Der komplex-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein Beispiel für einen negativ gekrümmten symmetrischen Raum, dessen Krümmung – anders als beim hyperbolischen Raum – nicht konstant ist.

Definition

Sei ${ℂ}^{n,1}$ der Vektorraum ${ℂ}^{n+1}$ mit der Hermiteschen Form

$⟨U,V⟩=-u_{n+1}{\bar{v}}_{n+1}+\sum _{j=1}^n{u}_j{\bar{v}}_j$

für $U=(u_1,\dots ,u_{n+1}),V=(v_1,\dots ,v_{n+1})$.

Der n-dimensionale komplex-hyperbolische Raum $ℂH^n$ ist

$ℂH^n=\{X\in {ℂ}^{n,1}:⟨X,X⟩=-1\}$

mit der von der Hermiteschen Form $⟨.,.⟩$ induzierten riemannschen Metrik.

Geometrie

$ℂH^n$ ist isometrisch zum homogenen Raum

$SU(n,1)/S(U(n)\times U(1))$.

Es ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im $ℂH^n$ gilt die Ungleichung $-4\le K\le -1$. Ebenen in $ℝH^n\subset ℂH^n$ haben Schnittkrümmung $-1$, während die Ebene $ℂH^1\subset ℂH^n$ die Schnittkrümmung $-4$ hat.

Der Rand im Unendlichen ${\partial }_{\mathrm{\infty }}ℂH^n$ ist homöomorph zur $S^{2n-1}$. Horosphären sind isometrisch zur Heisenberggruppe.

Isometrien

Eine Isometrie von $ℂH^n$ heißt elliptisch, wenn sie einen Fixpunkt in $ℂH^n$ hat, parabolisch, wenn sie einen eindeutigen Fixpunkt in ${\partial }_{\mathrm{\infty }}ℂH^n$ hat, und loxodromisch, wenn sie zwei Fixpunkte in ${\partial }_{\mathrm{\infty }}ℂH^n$ hat.

Loxodromische Isometrien werden durch Matrizen $A\in SU(n,1)$ mit jeweils mindestens einem Eigenwert vom Betrag kleiner bzw. größer 1 repräsentiert. Eine loxodromische Isometrie heißt strikt hyperbolisch, wenn sie durch eine Matrix $A\in SU(n,1)$ mit reellen Eigenwerten repräsentiert wird, schwach hyperbolisch sonst.

Parabolische Isometrien sind entweder unipotent, d. h. werden durch eine Matrix $A\in SU(n,1)$ repräsentiert, deren Eigenwerte alle 1 sind, oder ellipto-parabolisch, in diesem Fall gibt es eine eindeutige komplexe Geodäte, auf der die Isometrie als parabolische Isometrie von $ℂH^1\simeq H^2$ wirkt.

Eine Isometrie ist genau dann elliptisch, wenn sie eine zyklische Gruppe mit kompaktem Abschluss erzeugt. Sie heißt regulär elliptisch, wenn alle Eigenwerte einer repräsentierenden Matrix $A\in SU(n,1)$ verschieden sind.

Komplex-hyperbolische Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt komplex-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum $ℂH^n$ ist.

Ballquotienten

In der algebraischen Geometrie werden komplexe Mannigfaltigkeiten als Ballquotienten bezeichnet, wenn ihre universelle Überlagerung biholomorph zum $ℂH^n$ ist.

Literatur

• Goldman, William M.: Complex hyperbolic geometry. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1999. xx+316 S. ISBN 0-19-853793-X
• David Epstein: Complex hyperbolic geometry. Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), S. 93–111, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 111, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.