Koflächenformel

Die Koflächenformel ist ein Formel aus der geometrischen Maßtheorie, welche die Substitutionsregel der Integralrechnung für Lipschitz-stetige Funktionen $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ und $m\ge n$ verallgemeinert. Ein Spezialfall der Koflächenformel ist der Satz von Fubini, diesen erhält man dann, wenn $m>n$ und $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ eine orthogonale Projektion ist. Die analoge Formel für den Fall $m\le n$ heißt Flächenformel.

Die Koflächenformel wurde 1959 von Herbert Federer publiziert.

Koflächenformel

Notation:

• $m,n\in \mathbb{N}$,
• $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ ist eine Lipschitz-Funktion
• ${\mathscr{H}}^m$ ist das $m$-dimensionale Hausdorff-Maß
• ${ℒ}^m$ ist das $m$-dimensionale Lebesgue-Maß
• $J_{n}f$ ist die verallgemeinerte $n$-dimensionale Jacobi-Determinante von $f$, sie ist im Fall $m\ge n$ wie folgt definiert:

$J_{n}f(x)=\sqrt{\det [Df(x)Df(x{)}^{𝖳}]}.$

Aussage

Falls $m\ge n$, dann gilt

$\underset{A}{\int }{J}_{n}f(x)\mathrm{d}{ℒ}^m(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathscr{H}}^{m-n}(A\cap f^{-1}(y))\mathrm{d}{ℒ}^n(y)$

für jede Lebesgue-messbare Menge $A\subseteq {ℝ}^m$.

Korollar

Ein Korollar ist folgende Verallgemeinerung: Sei $u\in L^1({ℝ}^m,{ℒ}^m)$, dann ist

$\underset{A}{\int }u(x)J_{n}f(x)\mathrm{d}{ℒ}^m(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }(\underset{A\cap f^{-1}(y)}{\int }u(x)\mathrm{d}{\mathscr{H}}^{m-n}(x))\mathrm{d}{ℒ}^n(y)$

für jede Lebesgue-messbare Menge $A\subseteq {ℝ}^m$.

Beispiele

• Sei $f:{ℝ}^m\to ℝ$ Lipschitz und $A\subseteq {ℝ}^m$, dann gilt

$\underset{{ℝ}^m}{\int }|\mathrm{\nabla }f(x)|\mathrm{d}{ℒ}^m(x)=\underset{ℝ}{\int }{\mathscr{H}}^{m-1}(A\cap f^{-1}(y))\mathrm{d}y.$

• (Satz von Fubini): Für $m>n$ ist ${ℝ}^m={ℝ}^n\times {ℝ}^{m-n}$ und falls $f:{ℝ}^n\times {ℝ}^{m-n}\to {ℝ}^n$ mit $(x_1,\dots ,x_n\dots ,x_m)\mapsto (x_1,\dots ,x_n)$ eine orthogonale Projektion auf die erste Komponente ist, dann wird die Koflächenformel gerade zum Satz von Fubini.

Literatur

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