Kleisli-Kategorie

Eine Kleisli-Kategorie ist eine Kategorie, die sich auf natürliche Weise aus einer Monade ergibt. Sie ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Heinrich Kleisli.

Definition

Sei $C$ eine Kategorie und $M=(T,\mu ,\eta )$ eine Monade, mit $T:C\to C$ als Endofunktor und $\mu :T^2\to T$, $\eta :1\to T$ als die auf ihm festgelegten Monoid-Operationen. Die zu $C$ und $M$ gehörende Kleisli-Kategorie wird im Folgenden als $C_M$ bezeichnet. Die Objekte und Morphismen in ihr sind

• $\mathrm{Ob}(C_M)=\mathrm{Ob}(C)$, sowie
• ${\mathrm{Mor}}_{C_M}(X,Y)={\mathrm{Mor}}_C(X,T(Y))$.

Identitätsmorphismen und Verkettung sind

• ${\mathrm{id}}_A={\eta }_A$ und
• $f{\circ }_{C_M}g=\mu {\circ }_{C}T(f){\circ }_{C}g$.

Beispiele

• Korrespondenzen bilden eine Kleisli-Kategorie. Der Endofunktor auf Set ist hier Potenzmengenbildung, $𝒫$, mit $𝒫(f)(A)=\{f(a)|a\in A\}$.

Literatur

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. 5). 2nd edition. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8.