Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor

Der fünfdimensionale Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor (oder Kaluza-Klein-Riemann-Christoffel-Krümmungstensor) ist in der Kaluza-Klein-Theorie, einer Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, eine Verallgemeinerung des vierdimensionalen Riemann-Krümmungstensors (oder Riemann-Christoffel-Krümmungstensors). Dessen Kontraktion mit sich selbst ist der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor, eine Verallgemeinerung des Ricci-Tensors. Dessen Kontraktion mit der Kaluza-Klein-Metrik ist das Kaluza-Klein-Ricci-Skalar, eine Verallgemeinerung des Ricci-Skalars.

Benannt sind der Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor, Kaluza-Klein-Ricci-Tensor und -Skalar nach Theodor Kaluza, Oskar Klein, Bernhard Riemann und Gregorio Ricci-Curbastro.

Definition

Sei ${\tilde{g}}_{ab}$ die Kaluza-Klein-Metrik und ${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ab}^c$ die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole. Der Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor ist gegeben durch:

${\tilde{R}}_{acb}^d:={\partial }_c{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ab}^d-{\partial }_b{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ac}^d+{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ce}^d{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ab}^e-{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{be}^d{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ac}^e.$

Der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor und -Skalar sind gegeben durch:

${\tilde{R}}_{ab}:={\partial }_c{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ab}^c-{\partial }_b{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ac}^c+{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{cd}^c{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ab}^c-{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{bd}^c{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ac}^d,$

$\tilde{R}:={\tilde{g}}^{ab}{\tilde{R}}_{ab}.$

Literatur

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