Jørgensen-Ungleichung

In der hyperbolischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Jørgensen-Ungleichung eine notwendige Bedingung für die Diskretheit von Gruppen von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ${ℍ}^3$. Sie geht auf Troels Jørgensen zurück.

Ungleichung

Es sei $\mathrm{\Gamma }$ eine von zwei Matrizen $f,g\in PSL(2,ℂ)$ erzeugte nicht-elementare Kleinsche Gruppe, dann gilt die Ungleichung

$|Sp(f{)}^2-4|+|Sp([f,g])-2|\ge 1$,

wobei $Sp(.)$ die Spur einer Matrix und $[.,.]$ den Kommutator zweier Matrizen bezeichnet.

Anschaulich sagt die Bedingung, dass zwei Elemente, die eine nicht-elementare diskrete Gruppe erzeugen, nicht zu nahe an der Identität sein können.

Gleichheit

Die einzige hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe von 2 Elementen $f,g$ mit $|Sp(f{)}^2-4|+|Sp([f,g])-2|=1$ erzeugt wird, ist das Komplement des Achterknotens.

Die einzigen diskreten Untergruppen von $PSL(2,ℝ)$, die von 2 Elementen $f,g$ mit $|Sp(f{)}^2-4|+|Sp([f,g])-2|=1$ erzeugt werden, sind die Hyperbolische Dreiecksgruppen der Signatur $(2,3,q)$ mit $7\le q\le \mathrm{\infty }$.

Weiterhin gibt es zu jedem $r\ge 1$ eine diskrete Gruppe $\mathrm{\Gamma }\subset PSL(2,ℂ)$ mit $in{f}_{f,g:⟨f,g⟩=\mathrm{\Gamma }}\{|Sp(f{)}^2-4|+|Sp([f,g])-2|\}=r$.

Anwendungen

• Die Jørgensen-Ungleichung wird in zahlreichen Konvergenzbeweisen in der Theorie der Kleinschen Gruppen verwendet.
• Jørgensens ursprüngliche Anwendung war der Beweis des folgenden Konvergenzsatzes: Sei $\mathrm{\Gamma }$ eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe und $({\varphi }_n{)}_n$ eine Folge von Isomorphismen von $\mathrm{\Gamma }$, die gegen einen Homomorphismus $\varphi :\mathrm{\Gamma }\to PSL(2,ℂ)$ konvergiert, dann ist $\varphi (\mathrm{\Gamma })$ eine Kleinsche Gruppe und $\varphi$ ist ein Isomorphismus.
• Falls $f$ parabolisch ist, erhält man das klassische Resultat über die Existenz präzis invarianter Horosphären.
• Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen der Jørgensen-Ungleichung auf diskrete Gruppen von Isometrien anderer metrischer Räume.

Literatur

• Jørgensen, Troels: On discrete groups of Möbius transformations. Amer. J. Math. 98 (1976), no. 3, 739–749. pdf
• Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 2.2)