Jacobische Differentialgleichung

Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte jacobische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

$y^{\prime }=f\left(\frac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }\right).$

Ein wichtiger Spezialfall ist die Euler-homogene Differentialgleichung (nach Leonhard Euler), auch Ähnlichkeitsdifferentialgleichung genannt,

$y^{\prime }=f\left(\frac{y}{x}\right).$

Transformation auf Euler-homogene Differentialgleichung

Hier muss eine Fallunterscheidung danach gemacht werden, ob $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ \alpha & \beta \end{array}\right)$ verschwindet oder nicht.

Nichtverschwindende Determinante

Wegen $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ \alpha & \beta \end{array}\right)\ne 0$ gibt es (eindeutige) $x^{\star },y^{\star }\in ℝ$ mit

$\begin{array}{cccc}& a{x}^{\star }+b{y}^{\star }& =& -c\\ \wedge & \alpha x^{\star }+\beta y^{\star }& =& -\gamma .\end{array}$

Dann folgt

$\frac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }=\frac{a(x-x^{\star })+b(y-y^{\star })}{\alpha (x-x^{\star })+\beta (y-y^{\star })}=\frac{a+b\frac{y-y^{\star }}{x-x^{\star }}}{\alpha +\beta \frac{y-y^{\star }}{x-x^{\star }}}.$

Nun gilt: Für jede Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung

$u^{\prime }=f\left(\frac{a+b\frac{u}{x}}{\alpha +\beta \frac{u}{x}}\right)=g\left(\frac{u}{x}\right),g(s):=f\left(\frac{a+bs}{\alpha +\beta s}\right)$

ist $y(x):=y^{\star }+u(x-x^{\star })$ Lösung der ursprünglichen jacobischen Differentialgleichung, denn man erhält

$y^{\prime }(x)=u^{\prime }(x-x^{\star })=f\left(\frac{a+b\frac{u(x-x^{\star })}{x-x^{\star }}}{\alpha +\beta \frac{u(x-x^{\star })}{x-x^{\star }}}\right)=f\left(\frac{a+b\frac{y(x)-y^{\star }}{x-x^{\star }}}{\alpha +\beta \frac{y(x)-y^{\star }}{x-x^{\star }}}\right)=f\left(\frac{ax+by(x)+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }\right).$

Somit wird das Lösen einer jacobischen Differentialgleichung auf das Lösen einer Euler-homogenen Differentialgleichung zurückgeführt.

Verschwindende Determinante

Sei nun $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ \alpha & \beta \end{array}\right)=0$. Es sind drei Fälle zu unterscheiden.

• Der Fall $b=\beta =0$

Dieser Fall ist trivial, da die rechte Seite Differentialgleichung nicht mehr von $y$ abhängt.

• Der Fall $a=\lambda \alpha ,b=\lambda \beta ,\beta \ne 0$

Für alle Lösungen $z$ der separierten Differentialgleichung

$z^{\prime }=\alpha +\beta f\left(\frac{\lambda z+c}{z+\gamma }\right)$

ist $y(x):=\frac{1}{\beta }(z(x)-\alpha x)$ Lösung der jacobischen Differentialgleichung, denn es gilt

$y^{\prime }(x)=\frac{1}{\beta }(\alpha +\beta f\left(\frac{\lambda z(x)+c}{z(x)+\gamma }\right)-\alpha )=f\left(\frac{\lambda (\alpha x+\beta y(x))+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }\right)=f\left(\frac{ax+by(x)+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }\right).$

Also ist hier das Verfahren der Trennung der Veränderlichen anwendbar.

• Der Fall $\alpha =\beta =0,b\ne 0$

Dies geht analog zum vorigen Fall: Für alle Lösungen $z$ der separierten Differentialgleichung

$z^{\prime }=a+bf\left(\frac{z+c}{\gamma }\right)$

ist $y(x):=\frac{1}{b}(z(x)-ax)$ Lösung der jacobischen Differentialgleichung.

Transformation der Euler-homogenen Gleichung auf Trennung der Veränderlichen

Vorlage:Hauptartikel Gegeben sei eine Euler-homogene Differentialgleichung $y^{\prime }=g\left(\frac{y}{x}\right)$. Für jede Lösung $z$ der separierten Differentialgleichung

$z^{\prime }(x)=\frac{1}{x}(g(z)-z)$

ist $y(x):=x\cdot z(x)$ Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung wegen

$y^{\prime }(x)=z(x)+x{z}^{\prime }(x)=g(z(x))=g\left(\frac{y(x)}{x}\right).$

Die Differentialgleichung für $z$ kann man mit dem Verfahren der Trennung der Veränderlichen weiter behandeln.

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1995, ISBN 3-519-22227-2