Jacobis Formel

Jacobis Formel von Carl Gustav Jacob Jacobi drückt in der Analysis die Ableitungsfunktion der Determinante einer von einer Variablen $t$ abhängenden Matrix $A(t)$ durch die Adjunkte von $A$ und der Ableitung von $A$ nach $t$ aus.

Wenn die $n\times n$-Matrix $A(t)\in {ℝ}^{n\times n}$ eine differenzierbare Funktion eines Parameters $t\in ℝ$ ist, dann besagt der Satz:

${\partial }_t\det A=\mathrm{Sp}(\mathrm{adj}(A){\partial }_{t}A)$

Darin bezeichnet ${\partial }_t$ die Ableitung nach $t$, $\det$ die Determinante, $\mathrm{Sp}$ die Spur und $\mathrm{adj}$ die Adjunkte. Mit dem Frobenius-Skalarprodukt von Matrizen $⟨A,B⟩:=\mathrm{Sp}(A^{\mathrm{T}}B)$ kann das mit der Kofaktormatrix $\mathrm{cof}(A)=\mathrm{adj}(A{)}^{\mathrm{T}}$ als

${\partial }_t\det (A)=⟨\mathrm{cof}(A),{\partial }_{t}A⟩$

notiert werden. Wenn $A$ invertierbar ist, schreibt sich das

${\partial }_t\det (A)=\det (A)⟨(A^{-1}{)}^{\mathrm{T}},{\partial }_{t}A⟩$

Herleitung

Das charakteristische Polynom einer $n\times n$-Matrix $M$ lautet

$\det (\lambda E-M)=\sum _{k=0}^n{c}_k{\lambda }^k$,

wobei $E$ die Einheitsmatrix, $c_n=1$ und $c_{n-1}=-\mathrm{Sp}(M)$ ist. Mit dem Determinantenproduktsatz zeigt sich bei $\det (A)\ne 0$, sodass die Inverse existiert, und $\lambda ={\eta }^{-1}$:

$\begin{array}{cc}\det (A+\eta H)& =\det \left(\eta A({\eta }^{-1}E+A^{-1}H)\right)={\eta }^n\det (A)\det ({\eta }^{-1}E+A^{-1}H)\\ & ={\eta }^n\det (A)({\eta }^{-n}+{\eta }^{1-n}\mathrm{Sp}(A^{-1}H)+𝒪({\eta }^{2-n}))\\ & =\det (A)(1+\eta \mathrm{Sp}(A^{-1}H)+𝒪({\eta }^2)),\end{array}$

worin das Landau-Symbole $𝒪({\eta }^k)$ Terme zusammenfasst, die $\eta$ in mindestens $k$-ter Ordnung enthalten und die im folgenden Grenzwert nichts beitragen.

So berechnet sich die Richtungsableitung

$D_H\det (A):=\underset{\eta \to 0}{\lim }\frac{\det (A+\eta H)-\det (A)}{\eta }=\det (A)\mathrm{Sp}(A^{-1}H)$

und nach der Kettenregel die Ableitung

${\partial }_t\det (A)=\det (A)\mathrm{Sp}(A^{-1}{\partial }_{t}A)=\mathrm{Sp}(\mathrm{adj}(A){\partial }_{t}A)=⟨\mathrm{cof}(A),{\partial }_{t}A⟩$

Die Menge der invertierbaren Matrizen in ${ℝ}^{n\times n}$ sind eine dichte Teilmenge des Matrizenraums ${ℝ}^{n\times n}$, weswegen die Formel für alle quadratischen Matrizen gilt.

Anwendung

Die Determinante des Deformationsgradienten $F$ gibt das Verhältnis eines (infinitesimal kleinen) Volumens eines Körpers im Ausgangszustand $\mathrm{d}V$ und in seinem aktuellen deformierten Zustand $\mathrm{d}v$:

$\det F=\mathrm{d}v/\mathrm{d}V>0$.

Die Zeitableitung hiervon ist nach Jacobis Formel

$\begin{array}{cc}{\partial }_t\det F& =⟨\mathrm{cof}F,{\partial }_{t}F⟩\\ & =\det F⟨(F^{-1}{)}^{\mathrm{T}},{\partial }_{t}F⟩\\ & =\det F\mathrm{Sp}(F^{-1}{\partial }_{t}F)\\ & =\det F\mathrm{Sp}l\\ & =\det F\mathrm{div}\overrightarrow{v}\end{array}$

Darin ist $l={\partial }_{t}F{F}^{-1}$ der Geschwindigkeitsgradient, dessen Spur die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit $\overrightarrow{v}$ ist. Diese Divergenz gibt die Quellendichte in der Strömung an, die demnach genau dann verschwindet, wenn die Determinante des Deformationsgradienten zeitlich konstant ist.